Значение функции

Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X {\displaystyle X} задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} . Тогда областью (или множеством) значений функции f {\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {\displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {\displaystyle f(X)} :

f ( X ) = y ∈ Y {\displaystyle f(X)=\y\in Y} .

Множество значений функции f {\displaystyle f} обозначается также символами E ( f ) {\displaystyle E(f)} , R ( f ) {\displaystyle R(f)} или r a n f {\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y {\displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} [4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f {\displaystyle f} .

Множество значений f ( X ) {\displaystyle f(X)} называется также образом множества X {\displaystyle X} при отображении f {\displaystyle f} .

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].

ru.wikipedia.org

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

Основные данные о работе

Версия шаблона	2.1
ЦДОР
Вид работы	Творческое эссе
Название дисциплины	Математика (курс 13)
Тема	Понятие и свойства функции. Область определения и область значения.
Фамилия
Имя
Отчество
№ контракта

Содержание

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения……………3

Список использованных интернет-ресурсов…………………………………………...9

Основная часть

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

1.Фукция и её свойства.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Так же можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, а также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем в 1692 год. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, которое дал Эйлер в 1751 год, затем — Лакруа в 1806 год — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским в 1834 году и Дирихле в 1837 году.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функция - это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х – это независимая переменная или аргумент.

Переменная у – это зависимая переменная.

Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)

Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(х) – с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При данном способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами такого табличного задания функции являются: таблица квадратов и таблица кубов.

2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- это функция, заданная формулой у=b, где b- это некоторое число.

Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

2) Прямая пропорциональность – это функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел;

2. y=kx - нечетная функция;

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция- это функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- это действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения - множество всех действительных чисел;

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни четна, ни нечётна;

3. При k>0функция возрастает, а при k

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность – это функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0.

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля;

2. y=k/x - нечетная функция;

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+ ¥) и на промежутке (-;¥0). Если k

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x2 - четная функция;

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает;

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает.

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x3 - нечетная функция;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

Графиком функции является кубическая парабола.

7)Степенная функция с натуральным показателем – это функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- это произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем – это функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- это нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n

обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x¹0;

2. y=x-2 - четная функция;

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥);

2. Функция y=Öх - общего вида;

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y=3Öх

Свойства функции y=3Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая;

2. Функция y=3Öх нечетна;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=nÖх

При четном n функция обладает такими же свойствами, что и функция y=Öх.

При нечетном n функция y=nÖх обладает такими же свойствами, что и функция y=3Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем – это функция, заданная формулой y=xr, где r- это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

1.Область определения- луч [0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция возрастает на [0;+¥).

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x-r, где r - это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения - промежуток (0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция убывает на (0;+¥).

14)Обратная функция .

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке х и областью ее значений является промежуток у, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на у. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- это функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получаем: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не сразу возникло в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Впервые термин "функция" ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у Лейбница "геометрический налет". Ученик Лейбница, Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дал более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".

studopedia.ru

Что такое область значения функции? мне нужно определение.

Катя

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .
Область значений функции обозначают как E(f).
Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

Что такое наименьшее значение функции и экстремум функции? Объясните пожалуйста

Наташа прокофьева

Когда подставлять у фунцию числа из какого-то промежутка и сравнивать результаты, то какое-то число даст наименьший результат. Это и есть это наименьшее значение функции. Желательно чтобы этим промежутком была вся область значения функции. . Экстремум функции это все точки на оси икс, в которых функция с возрастания переходит на убывание или наоборот. Экстремумы надо искать уравнением, производную функции равнять к нулю. Далее корни уравнения по очереди подставляем в функцию, выбираем наибольшее и наименьшее значение.

Vlad berezin

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) . Точки экстремума характерны тем, что в них значение первой производной равно нулю (ф-ция должна бытьопределена (т. е не иметь разрывов) и дифференциируема в окрестностях точки зкстремума) . Если это предложение выразить языком геометрии, то: в точке экстремума касательная к графику функции параллельнв оси 0Х. В точках максимума первая производная =0, вторая производная отрицательна. В точках минимумов первая производная =0, вторая производная положительна. Первая производная будет =0 также и в точках перегиба (напр. Х^3 в точке Х=0). Для того чтобы отсеять точки перегиба и берут две первые производные. Эти точки особенные потому что в них обе эти производные =0