Область определения сложной функции

Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то

  • множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
  • а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,

где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} }  — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).

Гармоническая функция

Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .

Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .

Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}  — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

ru.wikipedia.org

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

Основные данные о работе

Версия шаблона 2.1
ЦДОР
Вид работы Творческое эссе
Название дисциплины Математика (курс 13)
Тема Понятие и свойства функции. Область определения и область значения.
Фамилия
Имя
Отчество
№ контракта

Содержание

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения……………3

Список использованных интернет-ресурсов…………………………………………...9

Основная часть

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

1.Фукция и её свойства.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Так же можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, а также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем в 1692 год. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, которое дал Эйлер в 1751 год, затем — Лакруа в 1806 год — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским в 1834 году и Дирихле в 1837 году.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функция - это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х – это независимая переменная или аргумент.

Переменная у – это зависимая переменная.

Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)

Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(х) – с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При данном способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами такого табличного задания функции являются: таблица квадратов и таблица кубов.

2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- это функция, заданная формулой у=b, где b- это некоторое число.

Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

2) Прямая пропорциональность – это функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел;

2. y=kx - нечетная функция;

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция- это функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- это действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения - множество всех действительных чисел;

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни четна, ни нечётна;

3. При k>0функция возрастает, а при k

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность – это функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0.

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля;

2. y=k/x - нечетная функция;

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+ ¥) и на промежутке (-;¥0). Если k

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x2 - четная функция;

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает;

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает.

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения - вся числовая прямая;

2. y=x3 - нечетная функция;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

Графиком функции является кубическая парабола.

7)Степенная функция с натуральным показателем – это функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- это произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем – это функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- это нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n

обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x¹0;

2. y=x-2 - четная функция;

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥);

2. Функция y=Öх - общего вида;

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y=3Öх

Свойства функции y=3Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая;

2. Функция y=3Öх нечетна;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=nÖх

При четном n функция обладает такими же свойствами, что и функция y=Öх.

При нечетном n функция y=nÖх обладает такими же свойствами, что и функция y=3Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем – это функция, заданная формулой y=xr, где r- это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

1.Область определения- луч [0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция возрастает на [0;+¥).

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x-r, где r - это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения - промежуток (0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция убывает на (0;+¥).

14)Обратная функция .

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке х и областью ее значений является промежуток у, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на у. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- это функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получаем: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не сразу возникло в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Впервые термин "функция" ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у Лейбница "геометрический налет". Ученик Лейбница, Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дал более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".

studopedia.ru

Область определения функции – определение, обозначение

Область определения функции, примеры, решения.

Материал этой статьи является ответом на вопрос: «Как найти область определения функции»?

Сразу отметим, что в этой статье мы будем говорить о нахождении области определения функции f одной действительной переменной x, которая задается явно формулой вида y=f(x).

Сначала напомним, что называют областью определения функции, и введем обозначение области определения. После этого перечислим области определения основных элементарных функций (постоянной, функции корень n-ой степени, степенной, логарифмической, показательной функции, а также тригонометрических и обратных тригонометрических функций). Дальше, приняв области определения основных элементарных функций за исходные данные, разберемся с нахождением областей определения элементарных функций. То есть, покажем, как находится область определения сложной функции, область определения суммы, разности, произведения и отношения функций. Весь теоретический материал снабдим подробными решениями характерных примеров.

Навигация по странице.

  • Область определения функции – определение, обозначение.
  • Области определения основных элементарных функций:
    • постоянной функции;
    • функции корень n-ой степени;
    • область определения степенной функции;
    • логарифмической функции;
    • показательной функции;
    • области определения тригонометрических функций;
    • обратных тригонометрических функций.
  • Нахождение области определения элементарных функций.
    • Сложная функция, правило нахождения ее области определения.
    • Нахождение области определения суммы, произведения и разности функций.
    • Дробные функции и их области определения.
    • Нахождение области определения показательно-степенных функций.

Область определения функции – определение, обозначение.

Итак, пусть f – функция одной действительной переменной x.

Определение.

Область определения функции f – это множество X всех значений аргумента x, на котором задается функция.

Для обозначения области определения функции f используется краткая запись вида D(f). Например, если функция f – есть функция тангенс (то есть, f=tg), то область определения функции тангенс обозначается как D(tg).

Если областью определения функции f является множество X, то принята запись D(f)=X.

Если x – аргумент функции f, а X - область определения функции f, то очевидна справедливость формулы , где - символ принадлежности. При этом множество всех значений x таких, что , есть область определения функции f.

К началу страницы

studopedia.ru

1.7. Основные элементарные функции

Основными элементарным функциями называются следующие функции:

  1. Степенная функция

, .

  1. Показательная функция

.

  1. Логарифмическая функция

.

  1. Тригонометрические функции

.

  1. Обратные тригонометрические функции

.

1.8. Сложная функция

Из основных элементарных функций можно строить другие функции при помощи новой операции взятия функции от функции.

Пусть yявляется функцией отu, т.е., аu, в свою очередь, зависит от переменнойх, т.е.. Тогдаyтакже зависит отх:

.

Функция называетсясложной функцией, илифункцией от функции, илисуперпозицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции, ах– независимой переменной.

Операция взятия функции от функции может проводиться любое число раз. Например, функция есть суперпозиция трех функций,и.

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

1.9. Обратная функция

Определение.

Пусть функция , определена на множествеХс областью значенийY. Если каждомусоответствует единственное, при котором, то функцияназывается обратной (рис.1.3).

Рис. 1.3

Поскольку традиционно независимую переменную принято обозначать через х, а зависимую (функцию) – черезy, то обратная функция для х примет вид:. Это соответствие часто записывают также в виде.следует воспринимать как символ для обозначения обратной функции, а не как. Например, для функцииобратной функцией будет. В полученном выражении поменяем местамихиy, тогда– обратная функция.

1.10. Элементарные функции

Определение.

Функции, полученные из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями.

Например, ;;;.

Элементарные функции делятся на алгебраическиеитрансцендентные.

К алгебраическимотносятся следующие функции:

  1. Целая рациональная функцияилимногочлен:

,

где – числа, называемые коэффициентами,степень многочлена.

Например, .

  1. Дробная рациональная функция.

Эта функция является отношением двух многочленов:

.

Например, .

  1. Иррациональная функция.

Например, ;.

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Например, ;;.

1.11. Явные и неявные функции

Определение.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Такая функция имеет вид: , т.е. переменнаяyвыражается черезх.

Например, ;;.

Определение.

Неявнойфункциейyнезависимой переменнойхназывается функция, значения которой находятся из уравнения, связывающегохиyи, не разрешенного относительноy.

Неявная функция имеет вид: .

Например, ;.

Замечание.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.

1.12. Основные характеристики функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:

  1. четность или нечетность функции;

  2. периодичность функции;

  3. нули функции;

  4. возрастание или убывание функции (монотонность функции);

  5. ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

StudFiles.ru

Читайте также