Область значения

Область значений это:

Область значений Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Содержание

1 Определения
2 Обозначения
3 Связанные определения
4 Свойства
- 4.1 Свойства прообразов и образов
5 Классы функций
6 Вариации и обобщения
- 6.1 Функции нескольких аргументов
7 Примечания
8 См. также
9 Литература

Определения

Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:

$\forall x\forall y\forall z((x,y)\in f\and(x,z)\in f\to y=z).$

Функция называется инъективной, если $\forall x\forall z(f(x)=f(z)\to x=z)$

Обозначения

, или для отображения F множества X в множество Y;
- Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или $\mathrm{dom}\,F$ .).
- Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или $\mathrm{cod}\,F$ ).
, y = F(x) или или . Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = xF.
- Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y — значениями функции.

Связанные определения

Пусть дано отображение $F\colon X\to Y$ , и $M\subset X$ . Тогда суже́нием функции F на M называется функция $F\big|_M\colon M\to Y$ , определяемая равенством $F\big|_M(x)=F(x),\;\forall x\in M$ . Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

F является продолжением функции $F\big|_M$ на множество $X\supset M$ . Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.

Пусть $M\subset X$ . Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством $F(M)=\{F(x)\mid x\in M\}$ .

Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается $\mathrm{Im}\,F$ .

Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
- Например, пусть дана функция $F\colon\R\to\R$ , где F(x) = x2. Тогда y = − 1 не имеет прообразов; y = 0 имеет единственный прообраз x = 0; y = 1 имеет два прообраза: x₁ = 1 и x₂ = − 1.
Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F - 1(y).
- Например, пусть $F\colon\R\to\R$ , и F(x) = sinx. Тогда $F^{-1}(1)=\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi k\mid k\in\Z\right\}$ .
Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством .
- Например, пусть $F\colon\R\to\R$ , и F(x) = cosx. Тогда $F\left(\left[0,\;\frac{\pi}{2}\right]\right)=[0,\;1]$ , $F^{-1}([0,\;1])=\bigcup\limits_{n\in\Z}\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$ .

Свойства

Свойства прообразов и образов

$F^{-1}(A\cup B)=F^{-1}(A)\cup F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$ ;
$F^{-1}(A\cap B)=F^{-1}(A)\cap F^{-1}(B),\;\forall A,\;B\subset Y$ ;
$F(A\cup B)= F(A)\cup F(B),\;\forall A,\;B\subset X$ ;
$F(A\cap B)\subset F(A)\cap F(B),\;\forall A,\;B\subset X$ . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как $\R$ или $\C$ , то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, $\R^n$ или $\C^n$ , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Вариации и обобщения

многозначная функция

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n$ и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n,\;y)\right\}$ называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x'_1,\;x'_2,\;\ldots,\;x'_n,\;y')\in f$ и $(x''_1,\;x''_2,\;\ldots,\;x''_n,\;y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}' \neq x_{n}'',\forall x\in [1,\;n]\cap\Z$ .[1]

Примечания

↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.

См. также

Композиция функций
График функции
Сюръективность
Инъективность
Биективность
Функция с множеством значений {0, 1}
Функциональное уравнение

Литература

Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то

множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,

где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).

Гармоническая функция

Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .

Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .

Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}} — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

ru.wikipedia.org

Область (значения) это:

Область (значения)

В Викисловаре есть статья «область»

О́бласть — некоторая часть большей структуры. Термин о́бласть может означать:

В географии

Административная область
- Область (административная единица) — единица федерального деления в России или административно-территориального деления в ряде других стран.
Зоогеографическая область — регион Земли, выделяющийся особенностями фаунистического состава.
Историческая область — территория, составлявшая в исторической ретроспективе политическое единство.
Историко-культурная область — территория с исторически сложившимися сходными культурно-бытовыми особенностями населения.
Физико-географическая область — часть физико-географической страны, расположенная в пределах одной природной зоны и имеющая морфоструктурную и литологическую однородность.

В математике

Область (топология) — открытое связное подмножество.

См. также

Домен (область)

Cписок значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи.
Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью.

Категория:

Многозначные термины

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Как найти область определения и область значения функции x+8/x-4

Артур ройспих

а хрен знает) ну или вот )))))))))))))
.

одно из важнейших математических
понятий. Напомним, что функцией называют та-
кую зависимость переменной у от переменной х,
при которой каждому значению переменной х
соответствует единственное значение перемен-
ной у.
Переменную х называют независимой переменной
или аргументом. Переменную у называют зависимой
переменной. Говорят также, что переменная у явля-
ется функцией от переменной х. Значения зависи-
мой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х
является функцией, то коротко это записывают
так: y=f(x). (Читают: у равно f от х. ) Символом
f(x) обозначают значение функции, соответствую-
щее значению аргумента, равному х.
Пусть, например, функция задается формулой
у=2х2 - 6. Тогда можно записать, что f(x) = 2х2 - 6.
Найдем значения функции для значений х, равных,
например, 1, 2,5, -3, т. е. найдем f(1), f (2,5), f(-3):
f(1) = 2 • 1 2 - 6 = - 4;
f(2,5) = 2 • 2,52 - 6 = 6,5;
f(-3) = 2 • (-3)2-6 = 12.
- 3 -
Все значения независимой переменной образу-
ют область определения функции. Все значения,
которые принимает зависимая переменная, образу-
ют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область оп-
ределения не указана, то считают, что область оп-
ределения функции состоит из всех значений аргу-
мента, при которых формула имеет смысл. Напри-
мер, областью определения функции f (х) = 5х + х2
является множество всех чисел; областью определе-
Рис. 1
чисел, кроме -3.
Область определения функции, описывающей
реальный процесс, зависит от конкретных условий
его протекания. Например, зависимость длины I
железного стержня от температуры нагревания t
выражается формулой l = l0(1 + at), где l0 — на-
чальная длина стержня, а а — коэффициент ли-
нейного расширения. Указанная формула имеет
смысл при любых значениях t. Однако областью
определения функции l = f(t) является промежуток
в несколько десятков градусов, для которого спра-
ведлив закон линейного расширения.
Напомним, что графиком функции называют
множество всех точек координатной плоскос-
ти, абсциссы которых равны значениям аргу-
мента, а ординаты — соответствующим зна-
чениям функции.
На рисунке 1 изображен график
функции у = f(x), областью определе-
ния которой является промежуток
[-3; 7]. С помощью графика можно
найти, например, что f(-3) = -2,
f(0) = 2,5, f(2) = 4, f(5) = 2. Наи-
меньшее значение функции равно -2,
а наибольшее равно 4; при этом лю-
бое число от -2 до 4 является значе-
нием данной функции. Таким обра-
зом, областью значений функции
y = f(x) служит промежуток [-2; 4].
Мы изучили некоторые важные виды функций:
линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую
формулой у =kx - b, где k и b — некоторые числа;
прямую пропорциональность — частный случай
линейной функции, она задается формулой y=kx
- 4 -
Рис. 2
Рис. 3
б)
Графиком функции y = kx + b слу-
жит прямая (рис. 2). Ее областью
определения является множество
всех чисел. Область значений этой
ласть