Определение функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных.

(лекция 1)

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения .

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) G ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р₀ называется круг с центром в точке р₀ и радиусом . = (х-х₀)2+(у-у₀)2

Число А называется пределом функции |в точке р₀, если для любого

Lim f(x,y)

pp₀

сколь угодно малого числа можно указать такое число ()>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше выполняется неравенство: f(x,y) А, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р₀, с радиусом , значение функции отличается от А меньше чем на по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р₀ по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.

Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) =

pp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке: = f(x₀,y₀);

Lim f(x,y) = f(x₀,y₀);

pp₀

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

Частное производной.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р₁(х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:

_хz = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

z = Lim _xz

x x0 x

z= Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Нахождение частных производных.

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

(Лекция № 2)

StudFiles.ru

Определение функции нескольких переменных

При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:

x - затраты по материалам,

y - расходы на выплату заработной платы работникам,

z - амортизационные отчисления.

Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.

Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y ) является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ).

Так, например, (рис. 1.1) графиком функции

является верхняя половина сферы, а графиком функции

- нижняя половина сферы.

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.

studopedia.ru

Определение функции нескольких переменных.

(лекция 1)

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения .

Функции 2-х переменных.

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р₀ называется круг с центром в точке р₀ и радиусом r. r= Ö(х-х₀)2+(у-у₀)2Ø

Число А называется пределом функции |в точке р₀, если для любого

Lim f(x,y)

pàp₀

сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½0, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р₀ по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.

Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = b

pàp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x₀,y₀);

Lim f(x,y)= f(x₀,y₀);

pàp₀

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

Частное производной.

Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р₁(х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:

D_хz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

¶z = Lim D_xz

¶x Dx®0 Dx

à¶z= Lim f(x+Dx,y) - f(x,y)

¶x Dx®0 Dx

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Нахождение частных производных.

(Лекция № 2)

StudFiles.ru

Понятие функции нескольких переменных

Если каждой точке X = (х₁, х₂, …х_n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х₁, х₂, …х_n) = f (X).

При этом переменные х₁, х₂, …х_n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной, а символ f обозначает закон соответствия. Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).

Например, функция z = 1/(х₁х₂) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х₁ и х₂, а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х₁ = 0 и х₂ = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х₁ = 2, х₂ = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).

Функция вида z = а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_nх_n + b, где а₁, а₂,…, а_n, b — по стоянные числа, называют линейной. Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х₁, х₂, …х_n. Все остальные функции называют нелинейными.

Например, функция z = 1/(х₁х₂) – нелинейная, а функция z =
= х₁ + 7х₂ - 5 – линейная.

Любой функции z = f (X) = f(х₁, х₂, …х_n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.

Например, функции трех переменных z = 1/(х₁х₂х₃) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х₂ = а и х₃ = b то функция примет вид z = 1/(аbх₁); если зафиксировать х₁ = а и х₃ = b, то она примет вид z = 1/(аbх₂); если зафиксировать х₁ = а и х₂ = b, то она примет вид z = 1/(аbх₃). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х₂ = а, то она примет вид z = 5х₁а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х₁ = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.

Графиком функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).

Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).

Если переменных больше двух (n переменных), то графикфункции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х_n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).

Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве

Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем.

Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).

Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня.

Например, рассмотрим z = 1/(х₁х₂). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х₁х₂) = 10. Тогда х₂ = 1/(10х₁), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х₂ = 1/(5х₁) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).

Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х₁х₂)

Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х₁ + х₂. Возьмем С = 2, т.е. 2х₁ + х₂ = 2. Тогда х₂ = 2 - 2х₁, т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х₂ = 4 - 2х₁ (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х₁ + х₂ = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.

Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.