Способы определения площадей

Cпособы определения площадей в геодезии

Определение площадей земельных участков является одним из важнейших видов геодезических работ для целей земельного кадастра.

В зависимости от хозяйственной значимости земельных участков, наличия планово-топографического материала, топографических условий местности и требуемой точности применяют различные способы определения площадей.

1. Аналитический, когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на местности, по результатам измерений линий и углов на местности или по их функциям (координатам вершин фигур).

2. Графический, когда площадь вычисляется по результатам измерений линий или координат на плане (карте). Графические способы.Участок на плане разбивают на простые геометрические фигуры (обычно – треугольники), элементы которых измеряют с помощью измерителя и поперечного масштаба, а площади вычисляют по известным формулам и суммируют.

3. Механический, когда площадь определяется по плану с помощью специальных приборов (планиметров) или приспособлений (палеток). Иногда эти способы применяют комбинированно, например, часть линейных величин для вычисления площади определяют по плану, а часть берут из результатов измерений на местности.

Площади можно также определить на ЭВМ по цифровой модели местности по специальной программе.

При аналитическом способе определения площадей применяются формулы геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. При определении площадей небольших участков (для учета площадей, занятых строениями, усадьбами, площадей вспашки, посева) участки разбиваются на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, прямоугольники, реже трапеции. В этом случае площади участков определяются как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по линейным элементам - высотам и основаниям.


Рис. 23.1. Геометрические фигуры для определения площадей участков (а, б)

Если по границам участка выполнены геодезические измерения, то площадь всего участка или его части можно вычислить по формулам, приведенным применительно к следующим фигурам участков (рис. 23.1).

Треугольник (рис. 23.1, а). Площадь треугольника определяется по сторонам l1 и l2, углу β2, заключенному между ними, по формуле

P =

(l1·l2·sinβ2).(23.1)

Четырехугольник (рис. 23.1, б). В зависимости от элементов, известных в четырехугольнике, могут быть использованы различные формулы для расчета, в связи с чем приведем пример, характеризующий это многообразие. Пусть в четырехугольнике измерены все стороны и один угол при вершине 2. В таком случае площадь треугольника 1 - 2 - 3 может быть вычислена по формуле (23.1). При этом полезно вычислить длину l1-3, используя теорему косинусов

l1-3 = √

+ l2 -2·l1·l2·cosβ.(23.2)

Площадь треугольника 1 - 3 - 4 может быть вычислена по формуле

P = √S·(S - l3)·(S - l4)·(S - l1-3),(23.3)

где S - полупериметр, равный

S =

(l3 + l4 + l1-3).

Общая площадь четырехугольника будет равна:

P =

l1·l2

·sinβ2 + √S·(S - l3)·(S - l4)·(S - l1-3).(23.4)

studopedia.ru

/ Ekzamen_geodezia (1) / 16.Способы определения площадей контуров, их точность

16. Способы определения площадей контуров, их точность.

1. Аналитический способ - когда площадь вычисляется по

результатам измерений линий на местности или по их функциям

(координатам вершин участка);

2. Графический способ - когда площадь вычисляется по результатам

измерений линий на плане (карте);

3. Механический способ - когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов (планиметров).

Иногда эти способы применяются комбинированно.

  • Аналитический способ определения площадей

Вычисление площади этим способом производится по формулам

геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными

данными для вычисления служат измеренные в натуре углы или их

функции – координаты. Если участок представляет собой простейшую геометрическую фигуру (треугольник, трапецию и др.), то площадь его вычисляют по общеизвестным формулам геометрии или тригонометрии .Площади многоугольников вычисляют обычно по координатам вершин.

Точность аналитического способа 1/1000. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности.

  • Графический способ определения площадей

Площади участков, имеющих форму геометрических фигур

треугольника, прямоугольника или трапеции, вычисляют по известным формулам геометрии.

Если участок представляет многоугольник, то его делят на элементарные геометрические фигуры – треугольники и трапеции.

Точность определения площади графическим методом зависит от графической ошибки измерений линий плана. Известно, что линия плана определяется циркулем – измерителем с ошибкой 0,1 мм, которая не зависит от длины линии. Из этого следует, что относительная ошибка короткой линии больше, чем длинной. Поэтому при построении

элементарных фигур надо стремиться к фигурам больших размеров и по возможности с одинаковыми длинами оснований и высот

Определение площади способом палетки

Квадратная палетка представляет собой прозрачный лист, на котором нанесена сеть квадратов со сторонами 2 – 10 мм. Зная длину стороны одного квадрата и масштаб плана, можно вычислить площадь квадрата. Например, масштаб карты (плана) 1:10 000 следовательно, площадь одного квадрата со стороной 1см будет равна 10 000 м2 или 1га.

Для определения площади палетку накладывают на замкнутый

контур (рис.3). Площадь подсчитывается как сумма полных и неполных

квадратов. Недостаток графического способа заключается в том, что

количество неполных квадратов приходится оценивать на глаз. На рисунке

3 число полных квадратов 15, а неполных примерно равно 8,5 для каждого неполного квадрата глазомерно определяют, какую часть он составляет от полного. Следовательно, отсюда относительная ошибка определения площади палеткой составляет 1/100.

Механический способ определения площадей

1. Перед измерением площади участка план или карта закрепляются

на гладкой горизонтальной плоскости.

2. Планиметр устанавливается так, чтобы его полюс располагался вне

измеряемого участка, а полюсный и обводной рычаги образовывали

примерно прямой угол.

3. Совместив обводную точку планиметра с исходной точкой контура,

снимают по счетному механизму начальный отсчет n1 и плавно

обводят весь контур по ходу часовой стрелки.

4. Вернувшись в исходную точку, берут конечный отсчет n2.

5. Разность отсчетов (n2 – n1) выражает величину площади фигуры в

делениях планиметра.

6. Итоговая площадь контура рассчитывается по формуле:

Измерение площади полярным планиметром

S = O· (n2 – n1),

где О – цена деления планиметра

Определение цены деления полярного планиметра

1. Для определения цены деления планиметра измеряют фигуру,

площадь которой Sо заранее известна (например, квадрат

координатной сетки, Sо = 1км· 1км = 1км2).

2. Вычисляют цену деления планиметра по формуле:

3. Цена деления зависит от масштаба карты и от длины

обводного рычага (расстояние от обводной точки до полюсного

рычага).

где (m2 – m1) – разность отсчетов, полученных при измерении

контура с известной площадью.

(m2 – m1)

S O = о

Определение площади электронным планиметром

Объект, на котором определяют

площадь контура, должен быть

расположен на горизонтальной

поверхности;

• Установить планиметр необходимо

так, чтобы роликовый механизм и

рамка трассера располагались под

прямым углом друг к другу, а линза

трассера при этом находилась

примерно на середине контура

снимаемого объекта.

StudFiles.ru

Способы определения площадей.

Определение географических координат точек. Используя географические координаты углов трапеции, образованной пересечением меридианов и параллелей, а также внутреннюю (минутную) рамку карты находят географические широты (j) и долготы (l) точек. Например, для точек А и В, заданных на учебной карте масштаба 1:10 000 соответственно на пересечении улицы совхоза Беличи и дороги на восток и на ближайшем пересечении дорог, имеем

jА = 54° 49'42" CШ, lА = 18° 04'56" ВД, jВ = 54° 40'40" СШ, lВ = 18° 06'50" ВД.

Определение зональных прямоугольных координат точек. Для этого опускают перпендикуляры из заданной точки на линии координатной (километровой) сетки и измеряют их длины. Затем, используя масштаб карты и оцифровку координатной сетки, получают координаты, которые можно сравнить с географическими. Для точек А и В, имеем XА = 6 065.45 км, YА = 4 311.85 км ( -188.15 км),

XВ = 6 065.20 км, YВ = 4 313.82 км ( -186.18 км). Откуда следует, что точки А и В расположены западнее осевого меридиана четвертой шестиградусной зоны на 188.15 и 186.18 км соответственно.

Определение дирекционного угла, истинного и магнитного азимутов заданного направления. Для определения дирекционного угла линии АВ с помощью транспортира измеряют на карте по ходу часовой стрелки горизонтальный угол между северным направлением осевого меридиана зоны (линией координатной сетки) и заданным направлением. В нашем примере дирекционный угол направления АВ aАВ = 94° 45'.

Истинный азимут отличается от дирекционного угла на величину сближения меридианов (+g), а магнитный азимут отличается от истинного на величину склонения магнитной стрелки (+d).

Из схемы взаимного расположения осевого, истинного и магнитного меридианов, находящейся под южной рамкой карты, видно, что на этом листе карты истинный азимут Аи меньше дирекционного угла a на величину сближения меридианов g = 2° 22', а магнитный азимут Ам меньше истинного на величину склонения магнитной стрелки d = 6° 12'. Следовательно, АиАВ = aАВ - g = 94° 45' - 2° 22' = 92° 23',

АмАВ = АиАВ- d = 92° 23' - 6° 12' = 86° 11'.

Определение высоты точек и уклона линии. Высоты точек на карте определяют графически, интерполированием между соседними горизонталями. В нашем примере высоты точек НА = 155.2 м, НВ = 143.2 м. Тогда уклон линии АВ iАВ = (НВ - НА) / dАВ = -12.0 / 2000 = -0.006 = -60/00 ,

где dАВ - горизонтальное проложение линии АВ, равное 2000 м. На строительных чертежах направление уклона обычно показывают стрелкой, над которой записывают его величину в промиллях (тысячных долях), а под стрелкой - горизонтальное проложение.

Построение профиля местности по линии АВ. На миллиметровой бумаге строят графы профиля, в которые записывают номера характерных точек рельефа местности по линии АВ, расстояния между ними и их высоты. Горизонтальный масштаб профиля принимают равным масштабу карты. Вертикальный масштаб, по которому откладывают высоты от выбранного условного горизонта, обычно принимают в 10 раз крупнее горизонтального, т. е. 1:1000. Полученные точки на профиле соединяют ломаной линией.

Проведение на карте между точками А и В кратчайшей линии с заданным уклоном. Вычисляют величину заложения (расстояния между горизонталями) d по формуле d = h /i, где h - высота сечения рельефа горизонталями. В нашем примере d = 2.5 / 0.006 = 402 м. Это заложение в масштабе карты берут в раствор измерителя и из точки А этим расстоянием засекают на соседней горизонтали точку, от которой тем же раствором засекают следующую точку на соседней горизонтали и т. д. Соединив последовательно все точки, получают ломаную линию с уклоном, равным заданному.

i,%
d,м 12.5 16.7 33.3

На планах масштаба 1:1000 удобно при построении линии заданного уклона пользоваться графиком заложений по уклонам, который строят по табличным данным, вычисленным по формуле d = hc/i. При hс =1.0 м, имеем

При построении графика на горизонтальной прямой откладывают произвольной величины равные отрезки и надписывают величины уклонов. Из полученных точек вверх по вертикали откладывают соответствующие уклонам величины заложений в масштабе плана. Соединив точки плавной линией, получают график заложений по уклонам.

Определение площади аналитическим, графическим (геометрическим) и механическим способами. При аналитическом способе площадь любого многоугольника, заданного координатами вершин вычисляется по следующим формулам: Р = 1/2 SХi (Уi+1 - Уi-1),

Р = 1/2 SУi (Хi-1 - Хi+1),

где i - порядковый номер вершин многоугольника, изменяющийся от 1 до N (числа вершин).

Относительная погрешность вычисления площади зависит в основном от погрешностей координат точек и составляет около 1/2000.

Графический способ определения площади предусматривает разбивку контура на элементарные геометрические фигуры (треугольники, четырехугольники и трапеции), площади которых вычисляют по измеренным на карте с учетом масштаба длинам сторон и высот. Относительная погрешность суммарной площади, полученной графически, обычно составляет более 0.5-1.0% (1/100).

Механический способ основан на применении специального прибора -полярного планиметра, который состоит из полюсного и обводного рычагов и счетного механизма. Перед измерением площади контура вычисляют цену деления планиметра с - площадь, соответствующую одному делению планиметра. Для этого на карте обводят планиметром один квадрат километровой сетки с известной площадью Ризв.= 100 га. Отсчеты по счетному механизму берут до обводки n1 и после обводки n2, вычисляют их разность DU, которую уточняют несколько раз.

Например, n1 = 3546, n2 = 4547. Тогда цена деления планиметра с = Ризв./DU = 100/1001=0.09990 га.

Площадь заданного контура сначала получают в результате обводки в делениях планиметра МU, а затем, используя цену деления с, - в гектарах Р = с . DU. Контроль полученных результатов выполнятся повторными измерениями и вычислениями цены деления планиметра и определяемой площади. Относительная погрешность измерений площади планиметром составляет порядка 1/300.

studopedia.ru

Способы определения площадей. Точность определения площадей различными способами.

В зависимости от хозяйственного назначения участков и контуров, их размеров, формы, наличия или отсутствия планов и карт площади определяют след. методами.

Аналитический способ. Площади вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности с применением формул геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Например при учете площадей, занятых строениями усадьбами, пашней, посевами, при отводе мелких участков их разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, прямоугольники, реже трапеции и площади участков определяют как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по формулам геометрии. При учете площадь пашни, посевов, уборки урожая определяют по длине маршрута агрегата и ширине его захвата.

Площади больших участков, целых землепользований вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности (при помощи формул тригонометрии) или по их функциям – приращениям координат и координатам вершин полигона.

Формула для любого n-угольника выглядит так

2P = S(xk + xk+1)(yk+1 – yk)

Т.е. удвоенная площадь полигона равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат последующей и предыдущей точек.

Перед вычислением площади значения координат можно округлять до 0,1 м, а если площадь полигона более 200 га, то до 1 м, это округление упрощает вычисления без заметного снижения точности.

Графический способ. Площади вычисляют по результатам измерений линий по плану (карте), когда участок, изображенный на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно на треугольники, реже на прямоугольники и трапеции. В каждой фигуре на плане измеряют высоту и основание, по которым вычисляют площадь. Сумма площадей фигур дает площадь участка. К графическому способу относят определение площади при помощи палеток.

Для определения на плане площадей небольших участков с криволинейными контурами применяют прямолинейные и криволинейные палетки. К прямолинейным относят известные и наиболее распространенные квадратные и параллельные палетки.

Квадратная палетка представляет сеть взаимно перпендикулярных линий, проведенных через 1 мм на прозрачном целлулоиде, фотопленке, стекле или восковке. Площадь фигуры вычисляют простым подсчетом клеток палетки, наложенной на фигуру. Доли клеток, рассекаемых контуром на части, учитывают на глаз. Для упрощения подсчетов проводят утолщенные линии через 0,5 и 1 см, чтобы число клеток можно подсчитать сразу группами (25 и 100 мм )

Квадратной палеткой не рекомендуют определять площади, большие 2 см на плане.

Недостаток ее применения помимо того, что площади долей клеток, рассекаемых контуром, приходится оценивать на глаз, состоит еще в том, что подсчет числа целых клеток нередко сопровождается грубыми ошибками.

Таких недостатков не наблюдается при определении при определении площадей параллельной палеткой, представляющей собой листок прозрачного целлулоида или восковки, на котором нанесены параллельные линии, проведенные преимущественно через 2 мм одна от другой.

Площадь контура этой палеткой вычисляют следующим образом. Накладывают ее па контур так, чтобы крайние точки контура разместились посередине между параллельными линиями палетки. Таким образом, весь контур оказывается расчлененным параллельными линиями на фигуры, близкие к трапециям с одинаковыми высотами, причем отрезки параллельных линий внутри контура являются средними линиями трапеций. Следовательно, чтобы получить площадь контура, нужно взять сумму средних линий, т. е. сумму отрезков параллельных прямых, проходящих внутри контура, и умножить на расстояние между ними.

studopedia.ru

Читайте также