Значение числа пи в математике

Число пи это:

Число пи

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

Символ константы

Содержание

1 История
2 Оценки
3 Свойства
- 3.1 Соотношения
- 3.2 Трансцендентность и иррациональность
4 Нерешенные проблемы
5 История вычисления
- 5.1 Метод иглы Бюффона
6 Мнемонические правила
7 Забавные факты
8 Примечания
9 Ссылки

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой $\pi~$ воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Оценки

$\frac{22}{7}$ (Архимед),
$\frac{377}{120}$ (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),
$\frac{355}{113}$ (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).

510 знаков после запятой: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Сто миллиардов знаков после запятой (2000
PI world of JA0HXV

Свойства

Соотношения

Известно много формул с числом π:

Франсуа Виет, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots$

Формула Валлиса:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Ряд Лейбница:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Тождество Эйлера:

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

Интегральный синус

$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi$

Трансцендентность и иррациональность

Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа $\frac{e-1}{2^n}$ в непрерывную дробь. В 1794-м Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.
В 1882 г. профессору Кёнигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа π. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 г. [1]
- Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

Нерешенные проблемы

Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
Неизвестно, являются ли числа π + e, π − e, πe, π / e, πe, ππ, e трансцендентными.
До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

История вычисления

Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления π математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается $3 < \pi < 2\sqrt{3} \approx 3,4641$ .

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7}$ .

В древнекитайских трудах попадаются самые разные оценки, из которых самая точная — это известное китайское число 355/113. Цзу Чунчжи (V век) даже считал это значение точным.

В Индии Арьябхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416

Заслуживает упоминания результат арабского математика Гиясэддина Джемшид ибн Масуд ал-Каши, завершившего в 1424 году труд под названием «Трактат об окружности», в котором он приводит 17 цифр числа π (из них 16 верных).

Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин (John Machin):

$\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}$

Разложив арктангенс в ряд Тейлора, можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

В 1873 году англичанин В. Шенкс потратил 15 лет и вычислил 707 знаков; правда, начиная с 527-го знака, все они оказались ошибочными. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.

Очень быстро работают вычислительные алгоритмы, основанные на формулах Рамануджана

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}$

и Чудновского

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}$

В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

$\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)$

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к $\frac2\pi$ при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.[2]

Мнемонические правила

Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять.»

2. Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи.

Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знаетъ!

Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали.

(Вторая мнемоническая запись верна (с округлением последнего разряда) только при использовании дореформенной орфографии: при подсчете количества букв в словах необходимо учитывать твердые знаки!)

Еще один вариант этой мнемонической записи:

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Раз у Коли и Арины Распороли мы перины. Белый пух летал, кружился, Куражился, замирал, Ублажился, Нам же дал Головную боль старух. Ух, опасен пуха дух!

Если соблюдать стихотворный размер, можно довольно быстро запомнить:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Забавные факты

Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.
Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
Украинец Андрей Слюсарчук установил новый мировой рекорд по запоминанию числа пи. Точное воссоздание в объеме 1 млн.знаков. (28.02.2006, Львов) [3]
Предыдущий мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (на запоминание ушло 10 лет)[4]
В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль(см. Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2[5]. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью (англ.), присутствовавшего во время рассмотрения принятия данного закона.
«число Пи для гренландских китов равно 3.14» написано в «Справочнике китобоя» 60-х годов выпуска.[6]

Примечания

↑ Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 г.
↑ Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи.
↑ [1]
↑ Japanese man recites pi from memory to 100,000 decimal places, claims world record. The Associated Press (04/10/06). Проверено 22 сентября 2008.
↑ The Indiana Pi Bill, 1897

↑ В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например здесь(

Ссылки

1 000 000 знаков после запятой числа ПИ
Различные формулы для вычисления числа ПИ
Зона ПИ на «Арбузе»
Жуков А. В.. «О числе π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
последовательность A000796 в OEIS
Поиск-online различных числовых последовательностей, среди первых 200 000 000 знаков числа Пи
Клуб числа Пи
100 000 знаков числа ПИ
100 миллиардов знаков числа ПИ
4'194'304 знаков числа ПИ

Числа с собственными именами Вещественные Натуральные Степени десяти Степени тысячи Степени двенадцати Литературные меры счёта

Золотое сечение | e (число Эйлера) | Пи | Число Скьюза

Чёртова дюжина | Число зверя | Число Рамануджана — Харди

Мириада | Гугол | Асанкхейя | Гуголплекс

Дюжина | Гросс | Масса

Доцанд | Мириад

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

ЧИСЛО ПИ это:

ЧИСЛО ПИ
Символ ПИ означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ p был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход. Еще в древности математикам было известно, что вычисление значения p и площади круга - задачи, тесно связанные между собой. Древние китайцы и древние евреи считали число p равным 3. Значение числа p, равное 3,1605, содержится в древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Около 225 до н. э. Архимед, используя вписанный и описанный правильные 96-угольники, приближенно вычислил площадь круга с помощью метода, который привел к значению ПИ, заключенному между 31/7 и 310/71. Другое приближенное значение p, эквивалентное обычному десятичному представлению этого числа 3,1416, известно еще со 2 в. Л. ван Цейлен (1540-1610) вычислил значение ПИ с 32 десятичными знаками. К концу 17 в. новые методы математического анализа позволили вычислять значение p множеством различных способов. В 1593 Ф. Виет (1540-1603) вывел формулу

Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.

dic.academic.ru

Пи

Пи:

Пи (буква) (Π, π) — буква греческого алфавита.
Пи (число) ( π {\displaystyle \pi } ) — математическая константа (3,1415…), выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.
π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} — функция, показывающая количество простых чисел, не превосходящих x {\displaystyle x} .
π-мезон, пион — три вида субатомных частиц из группы мезонов ( π 0 {\displaystyle \pi ^{0}} , π + {\displaystyle \pi ^{+}} и π − {\displaystyle \pi ^{-}} ), имеющих наименьшую массу среди мезонов.
Пи-теорема (π-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей.
Пи (фильм) («π», англ. Pi) — художественный фильм, психологический триллер, США, 1998 год. Режиссёр — Даррен Аронофски.
Пи Скорпиона (π Sco) — тройная звезда в созвездии Скорпиона.
Пи Столовой Горы (π Столовой Горы, лат. Pi Mensae) — звезда в созвездии Столовая Гора.
«Пи» — вымышленная книга, источник некоторых афоризмов, публиковавшихся в польском журнале «Пшекруй» под рубрикой «Мысли людей великих, средних и пёсика Фафика»

Фамилия

Пи, Оливье (род. 1965) — французский драматург, театральный режиссёр, актёр.
Пи, Эжен (1859—1924) — аргентинский кинооператор и режиссёр, пионер национального кинематографа.

Пи — китайская фамилия (клан). 皮 — кожа, шкура.

Пи Жисю (皮日休; 834—883) — поэт времён династии Тан. Другие имена: И Шао (逸少), Си Мэй (袭美), Лу Мэньцзы (鹿门子).
Пи Лайши — первый глава Китайской патриотической католической церкви.

Пи — каталанская фамилия.

Пи-и-Маргаль, Франсиско (кат. Francesc Pi i Margall, исп. Francisco Pi y Margall, 1824—1901) — испанский политик, философ, юрист, историк и писатель, глава правительства во времена Первой Испанской республики.
Пи-и-Арсуага, Франсиско
Пи-и-Арсуага, Хоакин

Харви, Пи Джей (англ. PJ Harvey; род. 1969) — британская певица, музыкант и автор песен.
Пи Джей Проби (англ. P. J. Proby; род. 1938) — американский певец, музыкант, автор песен и актёр.
Пи Дидди — сценический псевдоним американского рэпера и продюсера Шона Джона Комбса.
Стайлс Пи (англ. Styles P, род. 1974) — псевдоним американского рэпера Дэвида Стайлса.

ru.wikipedia.org

Сколько число ПИ?

Зена воин

Число π (произносится «пи» ) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи» .

Число π впервые возникло в геометрии как отношение длины окружности к длине её диаметра, однако оно появляется и в других областях математики. Число π иррационально и трансцендентно.

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Л. Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческого слова περiφερια- — окружность, периферия.
π=3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Первые знаки числа π, перечисленные в стихотворной форме:

Чтоб запомнить цифры эти,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
или

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
В следующем стихе упоминается большее число знаков .

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Мнемонические тексты, содержащие приблизительное значение . Для его получения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах стишка, и поставить запятую после первого знака.

Что я знаю о кругах?
Это я знаю и помню прекрасно,
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Ещё один стишок, к сожалению, устаревший из-за твёрдых знаков в конце слов.

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
пи узнать число — ужъ знаетъ.
Мировой рекорд по запоминанию знаков числа Пи принадлежит японцу Акира Харагучи (Akira Haraguchi). Он запомнил число Пи до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все число целиком. Источник: [ссылка заблокирована по решению администрации проекта]

Неофициальный праздник
Неофициальный праздник «День числа Пи» (англ. Pi Day) отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа Пи.

Ещё одной датой, связанной с числом Пи, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа Пи.

А здесь число π с точностью до миллиона знаков после запятой http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index1.html

Анастасия дуракова

Ризван мустакимов

Джафар буковадзе

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Что в математике означает число "P"(пи)?

Вспомните шестой класс и скажите, что в математике означает число "P"?

Александр рыбкин

В 1794 году было доказано что число Пи является иррациональным и бесконечным, и с тех пор не счесть тщетных попыток найти закономерность в этой хаотической последовательности чисел. Число Пи - древнейшая математическая загадка - однако, еще большую загадочность оному придает тот факт, что тайна числа Пи простирается далеко за границы чистой математики - это число вы найдете везде - в астрономии, теории вероятности, статистике, физике звука и света, в генетике, и т.д. - подобное всеобъемлющее присутствие этого набора чисел (в настоящее время посчитанного до 51'000'000-нного знака!) действительно навевает параноидальные мысли, что за всем этим что-то кроется.

Пи,
p, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно - отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, p представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: p = 3,141592653589793238462643...
Нужды практических расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для p приближений с помощью рациональных чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тысячелетие до нашей эры) площади круга соответствуют приближённому значению p "3 или, более точному, p " (16/9)2 = 3,16049... Архимед (3 в. до н. э.) , сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными многоугольниками, нашёл, что p заключается между
= 3,14084... и = 3,14285
(последним из этих приближений до сих пор пользуются при расчётах, не требующих большой точности) . Китайский математик Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в. ) получил для p приближение 3,1415927, вновь найденное в Европе значительно позднее (16 в.) ; это приближение даёт ошибку лишь в 7-м десятичном знаке. Поиски более точного приближения p продолжались и в дальнейшем, например аль-Каши (1-я половина 15 в. ) вычислил 17 десятичных знаков p, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало 17 в. ) - 32 десятичных знака. Для практических надобностей, однако, достаточно знать несколько десятичных знаков числа p и простейших выражений, содержащих p; в справочниках обычно даются приближённые значения для p, 1/p и p2, lgp с 4-7 десятичными знаками.
Число p появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф. Виета (16 в. ) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к этому же числу p. Примером может служить ряд Лейбница (1673-74):
Этот ряд сходится очень медленно. Существуют значительно быстрее сходящиеся ряды, пригодные для вычисления p. Так, например, формула
p = 24 arc tg + 8 arc tg + 4 arc tg
где значения арктангенсов с помощью ряда
arc tg x =
была использована (1962) для вычисления с помощью ЭВМ ста тысяч десятичных знаков числа p. Такого рода вычисления приобретают интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел. Статистическая обработка указанной совокупности знаков p показывает, что она обладает многими чертами случайной последовательности.
Возможность чисто аналитического определения числа p имеет принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой геометрии p также участвует в некоторых формулах, но уже не как отношение длины окружности к диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии вовсе не является постоянным) . Средствами анализа, среди которых решающую роль сыграла замечательная формула Эйлера e2pi= 1 (е - основание натуральных логарифмов, см. Неперово число; ), была окончательно выяснена и арифметическая природа числа p.