Значение e

e (число)

У этого термина существуют и другие значения, см. E (значения). Не следует путать с Числами Эйлера I рода. Не следует путать с постоянной Эйлера.

Иррациональные числа γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δ_s — α — e — π — δ
Система счисления	Оценка числа e {\displaystyle e}
Двоичная	10,101101111110000101010001011001…
Десятичная	2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная	2,B7E151628AED2A6A…
Шестидесятеричная	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональные приближения	8/₃; 11/₄; 19/₇; 87/₃₂; 106/₃₉; 193/₇₁; 1264/₄₆₅; 2721/₁₀₀₁; 23225/₈₅₄₄ (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Первые 1000 знаков после запятой числа e[1]

(последовательность A001113 в OEIS)

Площадь области под графиком y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} на отрезке 1 ≤ x ≤ e {\displaystyle 1\leq x\leq e} равна 1

e — это некоторое число a, такое, что значение производной (тангенс наклона касательной) показательной функции f (x) = ax (синяя кривая) в точке x = 0 равняется 1 (красная линия). Для сравнения показаны функция 2x (пунктирная кривая) и 4x (штриховая кривая); тангенс наклона касательных для которых отличен от 1

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e {\displaystyle e} называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Максимум функции x x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} достигается при x = e {\displaystyle x=e} .

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Поскольку функция экспоненты e x {\displaystyle e^{x}} интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e {\displaystyle e} принимаются как натуральные.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел: e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} (второй замечательный предел). e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 n {\displaystyle e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}} (формула Муавра — Стирлинга).
Как сумма ряда: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} или 1 e = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n ! {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}} .
Как единственное число a {\displaystyle a} , для которого выполняется ∫ 1 a d x x = 1. {\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.}
Как единственное положительное число a {\displaystyle a} , для которого верно d d x a x = a x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.}

Свойства

Производная экспоненты равна самой экспоненте: d e x d x = e x . {\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.}
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения d f ( x ) d x = f ( x ) {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=f(x)} является функция f ( x ) = c e x {\displaystyle f(x)=ce^{x}} , где c {\displaystyle c} — произвольная константа.
Число e {\displaystyle e} иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e {\displaystyle e} — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

Доказательство иррациональности

Предположим, что e {\displaystyle e} рационально. Тогда e = p / q {\displaystyle e=p/q} , где p {\displaystyle p} — целое, а q {\displaystyle q} — натуральное.

Следовательно

p = e q {\displaystyle p=eq}

Умножая обе части уравнения на ( q − 1 ) ! {\displaystyle (q-1)!} , получаем

p ( q − 1 ) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! {\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}}

Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} в левую часть:

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p ( q − 1 ) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! ( q + m ) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 ( q + 1 ) . . . ( q + m ) ∑ m = 1 ∞ 1 ( q + 1 ) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)} ,∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!} , см. формула Эйлера, в частности

e i π + 1 = 0. {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}
e = cos ⁡ ( i ) − i sin ⁡ ( i ) = sinh ⁡ ( 1 ) + cosh ⁡ ( 1 ) {\displaystyle e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)}

Ещё формулы, связывающие числа e {\displaystyle e} и π {\displaystyle \pi } :
т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса» ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
предел e = lim n → ∞ n ⋅ ( 2 π n n ! ) 1 n {\displaystyle e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}}
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ ( 1 + z n ) n . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связянное с аппроксимациями Паде, приведено в [2] ): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] {\displaystyle e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]} , то есть e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Или эквивалентным ему: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … {\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}
e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
Представление Каталана: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ {\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }
Представление через произведение: e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 3 ) k + 1 2 ( 2 k − 1 ) k − 1 2 ( 2 k + 1 ) 2 k {\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}
Через числа Белла

e = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}

Мера иррациональности числа e {\displaystyle e} равна 2 {\displaystyle 2} (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).[3]

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x {\displaystyle x} был равен 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ ( x 10 7 ) {\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)} .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма $ 1 {\displaystyle \$1} и начисляется 100 % {\displaystyle 100\%} годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $ 2 {\displaystyle \$2} . Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $ 1 {\displaystyle \$1} умножается на 1 , 5 {\displaystyle 1,5} дважды, получая $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 {\displaystyle \$1,00\cdot 1,5^{2}=\$2,25} . Начисления процентов раз в квартал приводит к $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2 , 44140625 {\displaystyle \$1,00\cdot 1,25^{4}=\$2,44140625} , и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} и этот предел равен числу e ( ≈ 2 , 71828 ) {\displaystyle e~(\approx 2,71828)} .

$ 1 , 00 ⋅ ( 1 + 1 12 ) 12 = $ 2 , 613035... {\displaystyle \$1,00\cdot (1+{\frac {1}{12}})^{12}=\$2,613035...}

$ 1 , 00 ⋅ ( 1 + 1 365 ) 365 = $ 2 , 714568... {\displaystyle \$1,00\cdot (1+{\frac {1}{365}})^{365}=\$2,714568...}

Таким образом, константа e {\displaystyle e} означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % {\displaystyle 100\%} годовых и максимальной частоте капитализации процентов[4].

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b {\displaystyle b} , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e {\displaystyle e} начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года[5][6], а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, e {\displaystyle e} обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c {\displaystyle c} , буква e {\displaystyle e} применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e {\displaystyle e} , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c {\displaystyle a,~b,~c} и d {\displaystyle d} уже довольно широко использовались в иных целях, и e {\displaystyle e} была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e {\displaystyle e} является первой в фамилии Эйлер (Euler).

Приближения

Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.
Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»
Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — равнобедренный прямоугольный треугольник.
С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): 666 245 ≈ 2 , 718 {\displaystyle {666 \over 245}\approx 2,718} .
Запоминание e как 666 10 ⋅ 666 − 13 {\displaystyle {\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}} (с точностью менее 0,001).
Грубое (с точностью до 0,001) приближение полагает e равным π ⋅ cos ⁡ π 6 {\displaystyle \pi \cdot \cos {\pi \over 6}} . Возможно приближение 9 − 2 π {\displaystyle 9-2\pi } .
«Правило Боинга»: e ≈ 4 ⋅ sin ⁡ 0 , 747 {\displaystyle e\approx 4\cdot \sin 0,747} даёт точность 0,0005.
С точностью до 10 − 7 {\displaystyle 10^{-7}} : e ≈ 3 − 5 63 , {\displaystyle e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,,} с точностью 10 − 9 → e ≈ 2 , 7 + 1828 99990 , {\displaystyle 10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},} а с точностью 4 , 6 ⋅ 10 − 10 → e ≈ 3 − 93 94 3 37 {\displaystyle 4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}}
1 / e ≈ ( 1 − 1 10 6 ) 10 6 {\displaystyle 1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}} , с точностью 0,000001;
Число 19/7 превосходит число e менее чем на 0,004;

Число 87/32 превосходит число e менее чем на 0,0005;

Число 193/71 превосходит число e менее чем на 0,00003;

Число 1264/465 превосходит число e менее чем на 0,000003;

Число 2721/1001 превосходит число e менее чем на 0,0000002;

Число 23225/8544 превосходит число e менее чем на 0,00000001.

Площадь поверхности квадратной пирамиды, у которой боковые грани правильные треугольники с длиной ребра 1 (точность 0,005).

Открытые проблемы

Неизвестно, является ли число e {\displaystyle e} элементом кольца периодов.
Неизвестно, являются ли числа π {\displaystyle \pi } и e {\displaystyle e} алгебраически независимыми.
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: π + e , π − e , π ⋅ e , π e , π e , e π 2 , e e , 2 e . {\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}.} Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.[7][8][9][10][11][12][13]
Неизвестно, является ли первое число Скьюза e e e 79 {\displaystyle e^{e^{e^{79}}}} целым числом.

Интересные факты

В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долл. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
Теоретически считается, что наиболее производительные компьютеры должны иметь разрядность e. Троичные ЭВМ ближе к данному значению, но из-за технических сложностей распространение получили двоичные компьютеры, в которых используются 1 и 0.
В языках программирования символу e {\displaystyle e} в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений[14].

ru.wikipedia.org

e (математическая константа)

e— математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.e= 2,718281828459045… Иногда числоeназываютчислом Эйлераилинеперовым числом. Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел: (второй замечательный предел).
Как сумма ряда:
Как единственное число a, для которого выполняется
Как единственное положительное число a, для которого верно

Свойства

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравненияf'(x) =f(x) является функцияf(x) =cex, гдеc— произвольная константа.
Число eиррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, чтоe— нормальное число, т. е. вероятность появления каждой из десяти его цифр одинакова.
eix=cos(x) +isin(x), см. формула Эйлера, в частности
Еще одна формула, связывающая числа еиπ, т.н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"

Для любого комплексного числа zверны следующие равенства:
Число eразлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:, т. е.
Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовымв честь шотландского учёного Джона Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.). Однако это название не совсем корректно, т. к. у него логарифм числаxбыл равен.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 г. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, сама же константа не определена. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Вильям Отред. Саму же константу впервые вывел швейцарский математик Якоб Бернулли при попытке вычислить значение следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Готфрида Лейбница Кристиану Гюйгенсу, 1690 и 1691 гг. Буквуeначал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 г. Соответственно,eиногда называютчислом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали буквуc, букваeприменялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается словоexponential(«показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквыa,b,cиdуже довольно широко использовались в иных целях, иeбыла первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбралeкак первую букву в своей фамилии (нем.Euler), поскольку он был очень скромным человеком и всегда старался подчеркнуть значимость труда других людей.

Способы запоминания

Число eможно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45,90и45градусов).

В другом варианте правила eсвязывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

В ещё одном небезынтересном способе предлагается запомнить число eс точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки):.

В четвёртом способе предлагается запомнить eкак.

Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает eравным. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением.

«Правило Боинга»: даёт неплохую точность 0,0005.

«Стих»: Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли.

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920

StudFiles.ru

Прямые и косвенные доказательства.

Прямые – док-ва, кот. Сод-т сведения о самом установленном факте. (признание, свидет. показания очевидцев и др.) (указывают на совершение лицом прест-ия или исключают его причастность к нему). При их использовании задача след-ля, суда состоит в установлении их достоверности, т.к. значение сообщенных сведений для установления предмета доказывания здесь однозначно. Преимущества в силе прямых док-в нет. Самое сильное док-во – признание обвиняемого своей вины (ч2ст17,ч2ст77).

Косвенные - док-ва, кот. сод-т сведения о фактах, кот. предшествовало, сопутствовало или следовало за устанавл. событием и по сов-и кот. можно сделать вывод о том, имело ли место событие прест-я, виновен или нет обвиняемый (следы обуви, отпечаток и др.).

Они могут служить не только основанием для вывода о фактах, входящих в предемет, но и использ-я для проверки достоверности док-в, указывать путь полуения новых док-в.

Особенности использования док-я косв. док-в.

установление достоверны ли сведения, кот. стали известны след-лю, суду.(действительно ли нож, найд. на месте пресс-я, принадлежит обвин.).

определение, связаны ли ставшие известными сведения с совершением прест-ия обвиняемым (нож мог взять любой)

Для установления косвенных док-в важно установить не только какое-либо обстоятельство, но и объективную связь (причинная, пространственно-временная, соответствия и др.) этого обстоятельства с установленными по делу обстоятельствами и причастностью опр. лица к преступлению. Устанавливая связь, не забывать о возможности стечения обстоятельств.

Правила использ. косв. док-в: 1. они приводят к достоверным выводам по делу лишь в своей сов-и. 2. они должны б. объективно связаны между собой и с доказыва-м положением. 3. система (сов-ть) их должна приводить к такому обоснованному выводу, кот. искл. иное объяснение установл. обстоятельств, искл. разумные сомнения в том, что обстоя-ва дела б именно такими, как они установлены на основе этих док-в и отражены в соот. проц. документах, решении по делу.

Предмет и значение показаний подозреваемого и обвиняемого, их проверка и оценка.

Показания обвиняемого – эти сведения, сообщенные им на допросе, проведенном в ходе досудебного пр-ва по угол. делу или в суде, и зафиксированные в установленном законом порядке. Дача показаний явл. Правом, ен обязанностью. Он не несет никакой ответ-и за дачу заведомо ложных показаний или за отказ от дачи показаний, что явл. Одной из важных гарантий обеспечения права на защиту. Показания имеют 2 природу: 1. источник доказ. Информации, 2. средство защиты от предъявленного обвинения. Обвин. Допрашивается на следствии после предъявления ему обвинения, а в суде - когда ему известно содержание обвин. Заключения или заменяющего его документа. Содержание показаний – обст-ва, образующее содержание предъявленного ему обвинения. Этим предмет не исчерпывается. Может дать какую-либо свою версию событий, иное их объяснение, может привести смягч. Или оправдыв. Обс-ва. Может давать оценку док-в, может отвергать их или ставить под сомнение, приводить контраргументы, кот. Подлежат тщатель. И всесторон. Проверке. В показаниях обвиняемого могут содержаться сведения о его личности, в частности биография, кот. Не входят в содержание обвинения, но могут иметь значение при оценке судом его личности и назначении наказания. Предмет показаний обвиняемого шире предмета свид. показаний.

Доказ. Значение. Особенность обусловлена 2 факторами:

обвиняемый лучше осведомлен обо всех обстоятельствах совер. Прест-я. Он обладатель наиболее полной доказ. Информации.

он чаще всего заинтересован в сокрытии этой информации или ее искажении, т.к. от этого зависит его судьба.

Виды показаний обвиняемого:

1 Показания с признанием им своей вины. порочные методы расследования могут повлечь ложный самооговор (взять на себя вину близкого человека, скрыть совершение другого, более тяжкого преступ-я). Признание обвиняемого своей вины, взятое изолировано, еще ничего не означает. Нельзя недооценивать значения правдивых показаний. Они могут б. очень ценным источником доказ. Информации.

Доказат. Значение признания обвиняемого.

1. док. Значение имеет не сам факт признания обвин. Своей вины, а конкр. Инф-я об обстоятельствах совершения прест-я, кот. Располагает лицо, причаст. К совершению прест-ия, осведомленное о нем (преступ. осведомленность). Голословное призанние своей вины без конкр. Фактов не явл. доказ-м.

2. сведения должны подтверждаться совокупностью собранных по делу док-в.

ст.77ч2 «Признание обвиняемым своей вины в совершении прест-ия может быть положено в основу обвинения лишь при подтверждении его виновности совокупностью имеющихся по уг. делу док-в». (обнаружены похищенные вещи, описанный способ похищения совпадает с осмотром места и выводами эксперта). Док-м явл. сообщенные сведения обвиняемым, свидетель. О его причастности к совершению прест-ия и объективно подтверждаемые в ходе проверки. УПК устанавливает еще одно ограничение использование показаний обвиняемого в качестве док-ва. Ст 75 ч2 п1 «К недопустимым док-вам относятся: показания подозреваемого, обвиняемого, данные в ходе досудебного пр-ва по уг. делу в отсутствие защитника, включая случаи отказа от защитника, и не подтвержденные подозреваемым, обвиняемым в суде». Это исполь. Как гарантией недопустимости применения незакон. Методов воздействия для получения признания.

Прекращение уг. Дела или уг. Преследования по нереабилитирующим основаниям возможно лишь с согласия обвиняемого (ст26-28), что предполагает и признание им своей вины. В суд. Разбирательстве вообще возможен особый порядок принятия решения при согласии обвиняемого с предъявлением ему обвинением (ст314-317). Эти правила явл. реализацией принципа состязат-ти сторон. Законодатель идет на отказ от доказывания, его сокращения, когда обвиняемый против этого не возражает, когда нет спора сторон.

2 показания с отрицанием им своей вины. Такие показания подлежат тщательной и всесторонней проверке, либо подтверждены. Нет 1 и 2 и остались сомнения в наличие обстоятельств, то они трактуются в пользу обвиняемого. Отрицание вины не явл. оправд. Док-м, т.к. не содержит конр. Факт. Данных, свид. о невиновности. Если обвин. Ссылается на факты, обязанность по установлению лежит на следователе, прокуроре, суде. Вывод о виновности – показания опровергнуты, а вина доказана бесспорными док-ми. В силу презумпции невиновности и правила об обязанности доказывания – факт, что обвиняемый не приводил данных в свое оправдание, не может расцениваться, как обвинит. Док-во. Показания д.б. проверены объективно, без предвзятого и одностор. Подхода.

Показания подозреваемого – это сведения, сообщенные им на допросе, проведенном в ходе досуд. Разбирательства, и зафиксированные в установленном законом порядке.

2 природа:

1. источник доказ. Информации

2. средство защиты его интересов.

Подозреваемый не несет отв-ь ни за отказ от дачи показаний, ни за дачу ложных показаний. Ст 46 Подозреваемый должен б. допрошен в течении 24 часов с момента возбуждения против него уг. Дела либо с момента его факт. Задержания. Он должен знать в чем подозревается и получить копию постановления о возбуждении дела, либо копию протокола задержания, копию постановления о применении к нему меры пресечения.

Предмет показаний обвиняемого – обстоятельства, дающие основание для подозрения, др. обст-ва важные для дела. Различие предмета обвин. И подоз. В том, что на момент допроса подозреваемого обвинение еще не сформулировано и показания подозр. Менее полны. При сущест. Противоречиях между показаниями в качестве подозр. И обвин. Те и другие подлежат тщательной проверке и оценке, в результате чего одни из них м.б. подтверждены и положены в основу обвинения, а др. отвергнуты.

Нередко обвин. И подозреваемые пытаются переложить свою вину, полностью или частично, на других соучастников или иных лиц – это средство защиты и не влечет ответственности. А когда показания против др. лиц даются по фактам, обст-м, кот. Не входят в предъявленное обвинение и причастность к кот. Допрашиваемого вообще не проверяется, т.е. по др. эпизоду дела или др. делу, подозр. И обвин. Д.б. предупрежден, что может нести уг. Отв-ь за отказ от дачи показаний и за дачу заведомо ложных показаний.

studfiles.ru

Значение это:

Значение содержание, связываемое с тем или иным выражением (слова, предложения, знака и т.п.) некоторого языка. З. языковых выражений изучается в языкознании, логике и семиотике. В науке о языке под З. (см. Значение лексическое) понимают смысловое содержание слова (См. Слово). В логике (и семиотике) под З. языкового выражения понимают тот предмет или класс предмета, который обозначается (называется) этим выражением (предметное, или экстенсиональное, З.), а под смыслом выражения (смысловым, или интенсиональным, З.) — его мыслимое содержание, т. е. ту заключённую в выражении информацию, благодаря которой происходит отнесение выражения к тому или иному предмету (предметам). Например, предметным З. выражений «Вечерняя звезда» и «Утренняя звезда» является один и тот же предмет — планета Венера, в то время как их мысленные содержания — смысловые З. — различны. Изучение вопросов, связанных с критериями равенства З. (смыслов) — критериев синонимии (См. Синонимия) языковых выражений, составляет одну из задач логической семантики (См. Логическая семантика). См. также Имя, Знак и литературу при этих статьях. Б. В. Бирюков.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

dic.academic.ru

Подскажите пожалуйста значение числа "е" в математике

Примадонна натали™

ЧИСЛО e.
Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т. е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно loge 2, т. е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Setr/100.
Далее здесь:
http://school-collection.edu.ru/dlrstore/d815a214-8c82-d5c2-1d4f-807129a3a5eb/1001535A.htm

Oleg lodkin

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. e = 2,718281828459045… Иногда число e называют числом Эйлера или неперовым числом. Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Nnnnn

Слава

Рассказываю как это можно сделать. Открываешь калькулятор (в Windows втроенный есть). Выбираешь инженерный, если у тебя обычный стоит. На клавиатуре набираешь 1, ставишь галочку на Inv (слева вверху), затем ln (натуральный логарифм) и нажимаешь Enter. Произносишь волшебные слова, и о чудо!!! Значение этого числа с потрясающей точностью, а именно
2,7182818284590452353602874713527.
Рассказываю секрет этого фокуса:
В этом калькуляторе ln - это логарифм при основании e (в прочем, как и везде). А обратная функция e в степени х. А е в первой степени е.
Никакого мошенничества)))))))))))

Сергей ноздрин

Достаточно точно вычислил число е Бернулли. То, что он анализировал (и в результате чего произвёл расчёт), мне кажется, прольёт свет на физический смысл самого числа е.
Допустим у вас есть 1 (один) рубль. Вы кладёте его в банк под 100% годовых. И начисление процентов происходит один раз в год (в последний день года). Тогда в конце года у вас в банке уже будет лежать 2 (два) рубля. Это элементарно и понятно!
Если те же проценты будут начисляться два раза в год, то после первых шести месяцев вам начислят 50% и у вас будет 1 рубль 50 копеек и после 12-ти месяцев ещё 50%, но уже не от рубля а от 1,5 рубля в итоге вы получаете 1+0,5+0,75=2,25 рубля.
Продолжаем увеличивать частоту начисления процентов. Пусть, теперь, их начисляют один раз в квартал. То есть по 25% (всего четыре раза в год), тогда после первого квартала у вас будет 1 рубль+25%= 1,25 рубля! После второго квартала 1,25+ 25%= 1,5625 рубля, после третьего квартала 1,5625+25%= 1,953125 рубля и, наконец, после четвёртого квартала окончательная сумма составит: 1,953125+25%=2,44140625 рубля.
Можно высчитать, какая сумма получится при частоте начисления процентов 1 раз в два месяца, 1 раз в месяц, 1 раз в пол-месяца и т. д. (при тех же 100 (ста) процентов годовых)
Каждый раз эта сумма будет немного больше, но она никогда не превысит некого числа, которое назвали числом "е". Даже если те же 100% годовых вам будут начислять один раз в сутки, один раз в 12 часов,... да хоть один раз в секунду (даже 1 раз в миллионную долю секунды), просто это волшебное число "е" будет всё точнее и точнее. Результат расчётов при бесконечной частоте начисления процентов стремится стать равным числу "е". Кстати, эта частота начисления процентов у банкиров называется ЧАСТОТОЙ КАПИТАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕНТОВ. (Слышали наверное?)
Ну вот, примерно так... На данный момент, с помощью мощнейших компьютеров, число "е" высчитали с точностью до двух миллионов знаков после запятой (!!!)
Такая точность вряд ли когда-либо понадобится, но таковы наши дотошные учёные! Для приблизительных расчётов часто хватает принять число "е" равным 2,7. Если ваше тщеславие хочет поразить знакомых точностью, то запомните год рождения Льва Николаевича Толстого - 1828 и допишите два раза это число к имеющемуся (2,7)
То-есть 2,718281828... этой точности хватит практически для любого инженерного расчёта.

ПРАВОСОЗНАНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ СЛОВА ЗАКОН

Публикую статью своего друга Константин К. о происхождении слова "закон". Человек увлекается этимологией.
"Вы никогда не думали о том, что слова Икона и Закон имеют один и тот же корень – «кон»?
При этом, данный корень имеет еще много интересных производных: исконный, посконный, поставить на кон, кончина, конец, спокон века, из покон веков.
Что же означает данный корень? И почему производные от него слова имеют такую разительную разницу значения и смысла?
В некоторых толкованиях говорится что данный корень исходит из вышедшего из употребления существительного - конъ (предел, начало, конец, граница). Если примерять к такому значению слова конец, кончина, то возможно, но слова икона и исконный никак не могут произойти от слова с таким значением. При этом происхождение слова «икона» приписывают греческому слову «ейкон» (образ, изображение). Даже если это и так, то все равно, это слово производное от какого – то другого слова (кон). Что оно означает? Почему от него происходят такие различные по смыслу и значению слова?
В глубь веков уходит история возникновения слова закон. Это общеславянское слово восходит к праславянскому *zakonъ «закон», которое образовано с помощью приставки za «за-« от *konъ «предел, начало, конец, граница», производного от глагола *kenti/*kьnti «появляться, наступать». Первоначально, как предполагают этимологи, оно имело значение: «то, с чего все начинается, на чем все основывается». Совмещение двух противоположных значений в одном и том же корне (начало и конец), как считает Преображенский, объясняется основным значением корня *ken- − «появляться, наступать»: если следует ряд предметов, то первый (крайний) и последний (тоже крайний) могут быть названы началом или концом. Ср.: «из конца в конец» (Преображенский, 1958).
Если предположить, что закон - сущность чего-то особо важного для людей, состоящего от начала до конца человеческой жизни и всего, что людей окружает, а также вспомнить о сказанном: я есть альфа и омега, начало и конец, то закон означает – бог, суть божьего промысла в жизни людей.
Таким образом, закон – это не просто устоявшаяся как обычай или установленная правителями норма поведения людей, это суть бога – жизнь в божественном состоянии, которое содержит в себе бережное отношение людей друг к другу, к миру животных и растений, к природе в целом и к самому себе. Но не потому что так хочет кто-то из людей, или это кому – то выгодно, а потому что это единственно возможное состояние жизни человека – божественное оно же и законное бытие.
А теперь вернемся к производным. Что на сегодняшний день означает слово «закон»? В соответствии с теорией государства и права «закон» - это — обладающий высшей юридической силой нормативный акт, принятый в особом порядке высшим представительным органом государственной власти или непосредственно народом и регулирующий наиболее важные общественные отношения. Т.е. исходя из буквального прочтения определения, «закон» - это акт, т.е. документ. При этом, его принятие, изменение, отмена никак не обусловлены ни религиозной моралью, ни божественным промыслом, ни даже сколько – нибудь взятыми из церковных богослужений обрядами или атрибутами. Как например, в некоторых странах Европы или в США до сих пор в соответствии с процессуальными нормами свидетелей и иных участников судебного процесса привлекают к присяге на библии.
Понимая под законом только акт – бумажный документ, который не обоснован морально – религиозной или хотя бы морально – светской нормой поведения (как на сегодняшний день принято большинство законов в России), человек одновременно осознает малозначительность, а порой и ложность нормы права с точки зрения реальной человеческой природы и божьего промысла.
Например, если человек вырубил у соседа без разрешения елку на новый год, он понимает, что совершил правонарушение не только в отношении человека, у которого похитил его имущество, за которое может быть привлечен к административной ответственности. Он также совершил грех – нарушил религиозную норму, а равно совершил нарушение самой природы, вырубив дерево. В данном случае лицо уверено в противоправности своего деяния, т.к. норма права основана на религиозной норме (грех кражи) и светской норме (беречь природу), и как правило, лица с обычным (средним если хотите, если это вообще измеримо) уровнем правосознания не идут на такие поступки.
Рассмотрим другой пример. В некоторых регионах введены нормы ограничения производства домашнего скота и птицы на личном приусадебном подворье жителями без регистрации предпринимателями.
Или такая - продажа товаров, осуществляемая в нестационарной розничной сети, в неустановленных для этого нормативными правовыми актами местах.
Люди не понимают таких норм: «- почему я не могу вырастить у себя во дворе с десяток уток или пяток свиней, чтобы обеспечить продовольственную безопасность своей семьи? Кому от этого плохо? Богу? Обществу? Природе? Кому?!!!
Или, например, почему я не могу продать собранную у себя в огороде клубнику или молоко от своей коровы прямо из своего дома, свежее, натуральное, полезное? Почему я должен ехать на какой-то рынок, тратить время, платить плату за место, платить за санитарные анализы?
Многие граждане не соблюдают такие нормы, поскольку они не обусловлены ничем другим кроме финансовых интересов заказчиков издаваемых нормативных актов.
А не соблюдая одни нормы, человек постепенно становится равнодушен к законодательству в целом, т.к. не чувствует его необходимости как основного регулятора общественных отношений. В результате понижается уровень правосознания и в целом уровень нравственного разума как способности самостоятельно решать нравственные задачи. Человек становится не способен отличить хорошее от плохого, полезное от вредного, главное от второстепенного".

liveinternet.ru