Значением логической переменной может быть

7.5.2. Логические переменные. Логические операции

Результатом операции сравнения двух чисел может быть величина, которая принимает одно из двух возможных значений: «истинно» (если указанное соотношение действительно выполняется) и «ложно» (если соотношение не выполняется). По-английски «истинно» и «ложно» пишется соответственно True и False. Константы и переменные, значениями которых может быть только эти две величины (True или False) называются логическими или булевскими константами и переменными. Название это дано в честь английского математика XIX века Джона Буля. Для описания таких переменных в языке Паскаль существует специальный тип – boolean. Пример описания логической переменной flag:

Var flag:Boolean.

Логическим переменным им можно присваивать значения операций сравнения подобно тому, как мы присваиваем числовым переменным значения арифметических операций. Такая операция присваивания может выглядеть, например, следующим образом:

flag:=x>=15;

то есть переменной логического типа flag мы присваиваем значение операции сравнения x>=15. В случае, если указанное неравенство выполняется, значение переменной будет равно true. В противоположном случае ее значение будет равно false. Имя логической переменной, которой присвоено значение операции сравнения, можно подставлять в условный оператор вместо самой этой операции. Такой прием позволяет сделать программу более компактной в том случае, если одна и та же операция сравнения повторяется в программе несколько раз. Значения логической переменной можно выводить на экран компьютера оператором writeln подобно значениям числовых переменных. Можно присваивать значения true и false логическим переменным и напрямую: flag:=true;

Именно такой способ присваивания значений логической переменной мы и используем в следующей программе. Эта программа проверяет, имеется ли в ряду из трех целых чисел хотя бы одно положительное. Эти числа, как обычно, мы будем вводить с клавиатуры, а сообщение о результатах проверки будет выведено на экран компьютера. В программе, текст которой приведен на рис.7.5.5 используются три переменные целого типаx, y и z для вводимых числовых значений и одна переменная логического типа flag, назначение которой в данной программе мы рассмотрим ниже. Описание переменной или переменных, относящихся к одному типу, составляет отдельную группу, которую от следующей группы отделяет точка с запятой. При этом слово var, открывающее раздел описания переменных ставится только один раз.

В основной части программы переменной flag присваивается начальное значение false. Вслед за оператором присваивания в программе идут три однотипных блока, в каждом из которых обрабатывается одно из вводимых чисел. Каждый такой блок состоит из оператора вывода, предлагающего пользователю ввести число, оператора ввода, присваивающего введенное значение одной из переменных целого типа и сокращенного условного оператора, проверяющего, является ли введенное число положительным или отрицательным. В случае, если число положительное, переменной flag присваивается значение true. В том случае, если число отрицательное, никаких действий не производится.. Если же нет положительных чисел среди введенных, то значение flag останется неизменным, то есть равным false.

Рис. 7.5.5. Программа, определяющая, имеются ли в ряду чисел положительные, и результаты ее работы при различных исходных данных

Далее в программе расположен полный условный оператор, который проверяет итоговое значение переменной flag и если она имеет значение true, то выводится сообщение о наличии среди введенных чисел, хотя бы одного положительного, а иначе выводится сообщение о том, что все введенные числа отрицательны. На рис. 7.5.5 под текстом программы показаны результаты ее работы при различных исходных данных.

Над величинами логического типа можно производить логические операции. Результатом логических операций могут быть только логические величины, то есть величины, имеющие значения true и false. Всего в Паскале используется 4 логических операции: not (НЕТ) -логическое отрицание, and (И) – логическое И, or (ИЛИ) – логическое ИЛИ, xor (Исключающее ИЛИ). Эти операции подразделяются на унарные, то есть такие, которые производятся только над одной величиной, и бинарные, то есть те которые производятся сразу над двумя величинами. К первому типу операций относится not, ко второму – все остальные. При выполнении логических операций соблюдается, как и для арифметических операций, определенный приоритет. Наиболее высоким приоритетом обладает операция not, то есть она выполняется в первую очередь. Далее выполняется операция and.

Самый низкий приоритет имеют операции or и xor. Если в выражении необходимо изменить порядок выполнения логических операций, для этого используются скобки, потому что выражение, заключенное в скобки, обладает высшим приоритетом.

Для логических величин существует таблицы, в которой указаны результаты логических операций при различных исходных данных. Такая таблица называется таблицей истинности. Ниже приведена такая таблица для унарных (табл.1) и (табл.2) бинарных операций.

Таблица 1. Унарные операции.

X	Not(X)
False	True
True	False

Из данной таблицы видно, что в результате операции not, производимой над любой величиной, ее значение изменяется на противоположное.

Если рассмотреть результаты, показанные в таблице 2, то можно сделать вывод о том, что для операции and значение будет равно true только тогда, когда обе исходных величины X и Y, над которыми производится эта операция (такие величины называются операндами) имеют значение true. Во всех остальных случаях результатом операции будет false. Для операции or значение будет true, если хотя бы один из операндов (или X или Y) имеет значение true. Результат операции or будет равен false только тогда, когда оба операнда имеют значение false. Для операции xor значение будет true, если значения операндов не совпадают. Если же значения операндов совпадают (вне зависимости от того, будут ли эти значения равны false или true) то итог операции будет равен false.

Таблица 2. Бинарные операции.

	Y	X and Y	X or Y	X xor Y
False	False	False	False	False
False	True	False	True	True
True	False	False	True	True
True	True	True	True	False

Логические операции используют при составлении программ, в которых требуется проверить сразу несколько условий. Например, если некоторое действие должно выполняться при условии, что значение переменной a находится в диапазоне от 5 до 20, то есть a должно быть больше или равно 5 и меньше или равно 20 то это условие можно записать следующим образом:

(a>=5) and (a).

При этом группируемые операции сравнения заключаются в скобки как в вышеприведенном выражении.

StudFiles.ru

Логические переменные и логические операции

Информация (данные, машинные команды и т. д.) в компьютере представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным проводникам (шинам) компьютера, может принимать значения 1 (высокий уровень электрического напряжения) и 0 (низкий уровень электрического напряжения) и рассматривается как импульсный сигнал, который математически может быть описан в виде двоичной переменной, принимающей также значения 0 или 1. Для решения различных логических задач, например, связанных с анализом и синтезом цифровых схем и электронных блоков компьютера, широко используются логические функции и логические операции с двоичными переменными, которые называются также логическими переменными.

Логические переменные изучаются в специальном разделе математики, который носит название алгебры логики (высказываний), или булевой алгебры. Булева алгебра названа по имени английского математика Джорджа Буля (1815–1864), внесшего значительный вклад в разработку алгебры логики. Предметом изучения алгебры логики являются высказывания, при этом анализу подвергается истинность или ложность высказываний, а не их смысловое содержание. Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D,… и т. д. Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов. В алгебре логики эти союзы заменяются логическими операциями. В соответствии с алгеброй логики любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(А, В, С, …), аргументами которой являются логические переменные А, В, С… (простые высказывания). Логические функции и логические переменные (аргументы) принимают только два значения: «истина», которая обозначается логической единицей – 1 и «ложь», обозначаемая логическим нулем – 0. Логическую функцию называют также предикатом.

Действия, совершаемые над логическими переменными для получения определенных логических функций, называются логическими операциями. В алгебре логики используются следующие логические операции.

1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание). В естественных языках соответствует словам неверно, ложь или частице не, в языках программирования обозначается Not, в алгебре логики обозначается

Инверсия каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Математическая запись данной операции для логической переменной А будет иметь вид:

2. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение). В естественных языках соответствует союзу и, в языках программирования обозначается And, в алгебре логики обозначается & .

Конъюнкция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся только тогда истинным, когда являются истинными простые высказывания, образующие составное высказывание.

Математическая запись данной операции для логических переменных Д В, С, … будет иметь вид:

F = A & B & C & …

3. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение). В естественных языках соответствует союзу или, в языках программирования обозначается Or, в алгебре логики обозначается V.

Дизъюнкция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся только тогда истинным, когда хотя бы одно из образующих его высказываний является истинным.

Математическая запись данной операции для логических переменных A, В, С, … будет иметь вид:

F = AvBvC…

4. Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование). В естественных языках соответствует обороту речи, если…, то …, в языках программирования обозначается If, в алгебре логики обозначается ?.

Импликация каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе высказывание ложно.

Математическая запись данной операции для двух логических переменных А и В будет иметь вид:

F = A?B.

5. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (логическая равнозначность). В естественных языках соответствует обороту речи тогда и только тогда, в алгебре логики обозначается ?.

Эквиваленция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда все простые высказывания, образующие составное высказывание, одновременно истинны или одновременно ложны.

Математическая запись данной операции для логических переменных A, В, С… будет иметь вид:

F = A?B?C?…

studopedia.ru

Логические функции и логические элементы.

Основные понятия

Все цифровые вычислительные устройства построены на элементах, которые выполняют те или иные логические операции.

Для формального описания логической стороны процессов в цифровых устройствах используется алгебра логики (АЛ).

АЛ имеет дело с логическими переменными, которые могут принимать только два значения (ИСТИНА и ЛОЖЬ, TRUEиFALSE, ДА и НЕТ, 1 и 0). Наиболее распространено последнее обозначение. При этом 1 и 0 нельзя трактовать как числа, над ними нельзя производить арифметические действия.

Логические переменные хорошо описывают состояния таких объектов, как реле, тумблеры, кнопки ., т.е. объектов, которые могут находиться в двух четко различимых состояниях: включено - выключено. К таким объектам относятся и полупроводниковые логические элементы, на выходе которых может быть лишь одиниз двух четко различимых уровней напряжения.Чаще более высокий, или просто ВЫСОКИЙ (HIGH) уровень принимается за логическую единицу, а более низкий, или просто НИЗКИЙ (LOW),- за логический нуль.

Представление информации физическими сигналами.

Как уже говорилось, физическими аналогами логических переменных "0" и "1" служат сигналы, способные принимать два хорошо различимых состояния, например, потенциал низкого и высокого уровней, разомкнутое и замкнутое состояние контакта реле и т.п.

В схемах цифровых устройств (ЦУ) переменные и соответствующие им сигналы изменяются не непрерывно, а лишь в дискретные моменты, обозначаемые целыми неотрицательными числами: 0,1,2,.. i… Временной интервал между двумя соседними моментами дискретного времени называется тактом. Обычно ЦУ содержат специальный блок, вырабатывающий синхронизирующие сигналы, отмечающие моменты дискретного времени (границы тактов).

В современных ЦУ применяется потенциальный способ представления информации. Потенциальный сигнал сохраняет постоянный уровень в течение такта, а его значение в переходные моменты не является определенным (рис. 1.1)

Рис. 1.1. Представление цифровой информации сигналами потенциального типа (последовательный код).

Слово информации может быть представлено последовательным или параллельным кодом.

При последовательном коде каждый временной такт предназначен для отображения одного разряда кода слова (рис. 1.1). В этом случае все разряды слова фиксируются по очереди одним и тем же элементом и проходят через одну линию передачи информации.

При параллельном коде все разряды двоичного слова представляются в одном временном такте, фиксируются отдельными элементами и проходят через отдельные линии, каждая из которых служит для представления и передачи только одного разряда слова. Код слова развертывается не во времени, а в пространстве, т.к. значения всех разрядов слова передаются по нескольким линиям одновременно (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Представление информации параллельным кодом.

Логические функции.

Функции АЛ принимают значения 1 или 0 в зависимости от значений своих аргументов. Одна из форм задания логической функции - табличная. Таблицы, отображающие соответствие всех возможных комбинаций значений двоичных аргументов значениям логической функции, называют таблицами истинности.

Как бы ни была сложна логическая связь между логической функцией и ее аргументами, эту связь всегда можно представить в виде совокупности трех простейших логических операций: НЕ, И, ИЛИ. Этот набор называют булевским базисом, в честь английского математика Д.Буля (1815-1864), разработавшего основные положения АЛ.

Функция НЕ (другие названия: отрицание, инверсия) - это функция одного аргумента. Она равна 1, когда ее аргумент равен 0, и наоборот. Обычное обозначение Q=. Встречаются и другие обозначенияQ=НЕ,Q=.Читается «Qесть неа».

Электронный логический элемент (ЛЭ), реализующий функцию НЕ в виде определенных уровней напряжения, называют инвертором.Инвертор на схемах изображается, как показано на рис. 1.3,а. Вход- слева, выход- справа, кружок- символ инверсии. Условное изображение инвертора (или любого другого ЛЭ) на схеме может быть повернуто на 90(вход- сверху, выход- снизу, рис. 1.3,б). Другие углы поворота и направления входов и выходовне допускаются.

В релейно-контактной технике функцию НЕ реализует нормально замкнутый контакт (рис. 1.3,в), т.е. такой контакт реле, который замкнут, пока в обмотке нет токового сигнала , и размыкается при подаче тока.

Рис.1.3. Инвертор

а) предпочтительное изображение

б) допустимое изображение

в) реализация НЕ в релейно-контактной технике

Функция И (другие названия: конъюнкция, логическое умножение, AND)- это функция двух или большего числа аргументов.

Обозначение: Q=a&b; Q=ab; Q=ab; Q=ab. Читается «Qестьaиb».

Функция И равна 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны 1. В релейно-контактной технике функция И реализуется последовательным включением нормально разомкнутых контактов (рис. 1.4,а). Ток в цепи пойдет, когда контакты замкнуты, т.е. находятся в единичном состоянии.

Значения функции И для всех комбинаций аргументов aиbприведены в таблице 1.1. Там же приведены значения и других часто используемых функций, о которых речь будет вестись ниже.

Элемент, реализующий функцию И, называют элемент И или конъюнктор.Элемент И часто используют для управления потоком информации. При этом на один его вход поступают логические сигналы, несущие некоторую информацию, а на другой- управляющий сигнал: пропускать- 1, не пропускать-0. Элемент И, используемый таким образом, называют вентиль (gate).

Таблица 1.1

Аргументы		Функции
а	b	И	ИЛИ	И-НЕ	ИЛИ-НЕ	М2	
0	0	0	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	1

Функцию И можно построить от любого числа аргументов. На рис. 1.2,б и в показаны условные изображения двух- и четырехвходового конъюнкторов.

Рис. 1.4. Конъюнктор

а) реализация операции И на контактах реле

б) условное изображение двухвходового конъюнктора 2И (AND2)

в) то же для четырехвходового- 4И (AND4)

Функция ИЛИ (другие названия: дизъюнкция, логическое сложение,OR)- это функция двух или большего числа аргументов. Функция ИЛИ равна 1, если хотя бы один из ее аргументов равен 1. Обозначение:Q=ab, Q=a+b.Читается: «Qестьaилиb». Использовать знак «плюс» можно в тех случаях, когда дизъюнкцию нельзя смешать с арифметическим суммированием и сложением по модулю 2.

Условное изображение трехвходового дизъюнктора (3ИЛИ, OR3) показано на рис. 1.5,а. В релейно-контактных схемах функция ИЛИ реализуется параллельным включением контактов (рис. 1.5,б)

Рис. 1.5. Дизъюнктор

а) условное изображение

б) реализация ИЛИ на контактах

StudFiles.ru

Основные операции алгебры логики

Логические функции и способы их задания

Логические функции и их свойства

При построении дискретных устройств в настоящее время наибольшее распространение получили элементы, у которых входные и выходные сигналы принимают одно из двух возможных значений – высокий и низкий электрический потенциал, импульсы положительной и отрицательной полярности, наличие и отсутствие импульса тока, электрический ток большой и малой силы и т.д.

Поэтому для описания ДУ используются переменные, которые принимают также одно из двух возможных значений: 0 или 1, т.е. двоичные переменные.

Способ отождествления реальных сигналов с цифрами 0 и 1 может выбираться произвольно. Например, высокий электрический потенциал (наличие сигнала) можно сопоставить с цифрой 1, а низкий электрический потенциал (отсутствие сигнала) – с цифрой 0.

Возможности описывать условия функционирования ДУ дает алгебра логики (двоичная алгебра, булева алгебра).

Алгебра логики оперирует с логическими переменными и логическими функциями.

Логической, или двоичной, переменной называется величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1. Логические переменные обозначаются буквами латинского алфавита. Логической функцией (функцией алгебры логики, переключательной функцией) называется функция, которая, как и ее аргументы (логические переменные), может принимать лишь одно из двух возможных значений: 0 или 1.

Логические функции выражают зависимость выходных переменных от входных.

В релейно-контактных устройствах значение 1 соответствует состоянию ИО и РО «включено», а значение 0 – состоянию «выключено».

Логические функции в зависимости от числа входных переменных делятся на функции одной переменной, двух переменных и многих переменных.

Различные комбинации значений входных переменных в логических функциях называются н а б о р а м и.

Например, две входных переменных, принимая значения 0 или 1, могут образовать всего четыре различных сочетания нулевых и единичных значений, т.е. 4 набора: 00, 01, 11, 10.

Для упорядочивания таких n-мерных двоичных наборов любой набор будем рассматривать как представление целого неотрицательного числа в двоичной системе счисления. При этом будем полагать, что в двоичном числе младший разряд расположен справа.

Например, набор 10011 может быть представлен десятичным числом

1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 19,

а набор 1110 – числом

1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 14.

Для компактной записи наборов значений переменных логической функции целесообразно их представлять числами в десятичной или восьмеричной системах счисления.

Десятичное или восьмеричное число, которым представляется набор значений переменных логической функции, будем называть весовым состоянием (номером) или просто весом этого набора. С данным понятием мы уже встречались, когда рассматривали способы задания ДА.

Для однозначного задания двоичного набора значений переменных необходимо назвать его весовое состояние (номер) и размерность (базу), т.е. количество переменных логической функции и их взаимное расположение. Так, например, десятичному числу 25 соответствует набор 11001 при размерности n = 5 или набор 0011001 при размерности n = 7.

Так как каждая логическая переменная может принимать лишь два значения, то очевидно, что множество возможных комбинаций значений n переменных содержит 2n двоичных наборов размерности n.

Определим максимальное количество различных логических функций от N переменных.

Для однозначного задания логической функции необходимо оговорить ее значение на каждом наборе переменных. В связи с тем, что на каждом наборе логическая функция может принимать значение 0 или 1 независимо от ее значений на остальных наборах переменных, а число наборов всегда равно 2n, число различных логических функций определится выражением

Например, для n = 1 число логических функций N = 4, для n = 2 N = 16, для n = 3 N = 256, для n = 4 N = 65 536, для n = 5 N = 4 294 966 296.

Как видно, с увеличением числа переменных количество логических функций очень быстро растет и уже для пяти переменных составляет огромную величину.

Наборы переменных, на которых логическая функция принимает значение 1, будем называть рабочими (единичными). Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть запрещенными (нулевыми).

Функции, значения которых определены на всех 2n наборах, называются полностью определенными логическими функциями. Нередко рассматриваются функции, значения которых определены только для части наборов. Такие функции будем называть не полностью определенными функциями.

Наборы переменных, на которых значение функций не определено, будем называть условными наборами. Значения функции на условных наборах могут выбираться произвольным образом.

Логические функции могут быть заданы:

- словесным описанием;

- таблицами соответствия (истинности);

- весовыми состояниями (номерами) рабочих, запрещенных и условных наборов (символическая форма);

- формулами (аналитическими выражениями).

При словесном описании логической функции должны быть указаны характерные ее свойства и перечислены совокупности рабочих, запрещенных и условных наборов.

Для задания логической функции таблицей соответствия строится специальная таблица, число строк которой равно числу различных наборов переменных (2n), а число столбцов равно n + 1. Первые n столбцов обозначаются символами переменных, от которых зависит функция, а последний n + 1 столбец – символом функции. В каждую строку такой таблицы записывается набор значений переменных и соответствующее ему значение функции. Для полностью определенных функций в столбце значений стоят только 1 или 0. Для не полностью определенных функций в строках, соответствующих условным наборам, будем проставлять знак ~.

С целью уменьшения объема таблиц соответствия в связи с тем, что число строк 2n очень быстро растет с увеличением числа переменных n, применяются с о к р а щ е н н ы е таблицы. Для полностью определенных функций сокращенные таблицы включают в себя только рабочие или только запрещенные наборы.

Примеры полной и сокращенных таблиц соответствия для полностью определенной функции от трех переменных представлены таблицами 2.1, 2.2, 2.3.

С целью сокращения таблицы соответствия не полностью определенной функции можно опустить либо единичные, либо нулевые, либо условные наборы. Например, логическую функцию, заданную таблицей соответствия (Таблица 2.4), можно представить одной из сокращенных таблиц соответствия (Таблицы 2.5-2.7).

Таблица 2.1		Таблица 2.2
x₃	x₂	x₁	f(x)		x₃	x₂	x₁	f(x)






		Таблица 2.3
		x₃	x₂	x₁	f(x)


Таблица 2.4
x₃	x₂	x₁	f(x)
		Таблица 2.5
	~		x₃	x₂	x₁	f(x)

	~

				~
	~			~
				~
Таблица 2.6		Таблица 2.7
x₃	x₂	x₁	f(x)		x₃	x₂	x₁	f(x)


	~
	~
	~

При задании функции сокращенной таблицей соответствия целесообразно выбирать вариант таблицы, содержащей минимальное количество строк.

Более компактным табличным способом задания логических функций является использование двухвходовых таблиц соответствия. При построении такой таблицы количество переменных, от которых зависит функция, разбивается на две примерно равные части (группы).

Для образования групп переменных определяются всевозможные наборы их значений. Столбцы и строки таблицы в произвольном порядке обозначаются наборами переменных первой и второй групп. Каждая клетка такой таблицы соответствует одному набору значений переменных, и в ней представлено значение функции на этом наборе. Общее количество клеток такой таблицы соответствует числу всевозможных наборов значений переменных.

Примером двухвходовой таблицы соответствия для функции от четырех переменных является таблица 2.8.

Таблица 2.8
x₄x₃	x₂x₁


		~
	~
	~

Удобно для задания логических функций использовать весовые состояния рабочих, запрещенных и условных наборов в десятичной или восьмеричной системах счисления. Для этого должны быть перечислены номера (весовые состояния) всех рабочих, запрещенных и условных наборов. Такой способ задания называют иногда символической формой.

Очень важно, чтобы для однозначности задания логической функции при записи ее были перечислены переменные, от которых зависит функция, обязательно в том порядке, в каком их значения расположены в двоичных наборах, т.е. должна быть указана база.

Например, если приведен такой порядок логических переменных: x₄, x₃, x₂, x₁ и среди номеров рабочих наборов имеется десятичное число 13, то это означает, что при значениях переменных x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = 1 (двоичный набор 1101) значение логической функции равно 1.

Заметим, что весовое состояние набора есть десятичное или восьмеричное представление двоичного числа, соответствующего значению переменных набора.

Выбор базы, т.е. определенного положения переменных в наборе, можно понимать как присвоение каждой переменной (каждому разряду двоичного набора) определенных весов двоичного счисления, причем самый малый вес 20 присваивается правому разряду, а затем справа налево веса увеличиваются. Так, в нашем примере переменная x₁ имеет вес 20, x₂ – 21, x₃ – 22, x₄ – 23. Тогда весовое состояние набора представляет собой сумму весов тех переменных (разрядов) набора, которые имеют значение, равное 1.

При задании логической функции весовыми состояниями рабочих и запрещенных наборов (символической формой) условимся, как и при задании ДА, рабочие ВС указывать через запятую, запрещенные – в квадратных скобках, условные – в круглых скобках. Базу будем указывать в обозначении функции, систему счисления при необходимости – в виде нижних индексов у функции.

Например, логическая функция, описанная таблицей соответствия (Таблица 2.8), может быть задана в символической форме:

Функция, описанная таблицей 2.4, также задана в символической форме:

Очевидно, что при задании функции символической формой достаточно указывать рабочие и запрещенные ВС, или рабочие и условные, или запрещенные и условные.

Недостающие наборы определяются в каждом случае как дополнительные до полного числа 2n.

Так, последняя функция может быть задана в виде

или

В случае полностью определенных функций достаточно указать только рабочие или только запрещенные ВС. Обычно при употреблении десятичной системы счисления нижние индексы у функций не ставятся, в остальных случаях необходимо указать систему счисления нижним индексом у функции, например:

Произвольная логическая функция может быть задана в виде аналитического выражения (формулы), которое представляет собой совокупность переменных, объединяемых определенными операциями (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия и др.).

Аналитические формы представления (задания) логических функций будут рассмотрены позднее.

Математическим аппаратом теории ДУ является алгебра логики. Любая алгебра вводится основными операциями и законами (аксиомами).

Основными операциями алгебры логики являются:

- логическое сложение (дизъюнкция);

- логическое умножение (конъюнкция);

- логическое отрицание (инверсия).

Логическое сложение (дизъюнкция) обозначается символом («+», ИЛИ). Логическая сумма обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом ИЛИ. Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из слагаемых равно 1.

Логическое умножение (конъюнкция) обозначается символом («·», &, И). Логическое произведение обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом И. Логическое произведение равно 1, если все сомножители равны 1.

Логическое отрицание (инверсия) обозначается символом «–». Логическое отрицание представляет собой суждение, противоположное данному, и читается с частицей НЕ: (НЕ x).

studopedia.ru

Опредилите значения логических переменных a,b,c,d если:

1) А и (корова - домашнее животное) - истинное высказывание. 2) В и (корова - домашнее животное) - ложное высказывание.3)С и(Земля - самая большая планета) - истинное высказывание.4)D и(Земля - самая большая планета) - ложное высказывание.

Riana

Если "и" - логическое умножение, то
1. "корова - домашнее животное" - истинное высказывание, получаем
А и истина = истина, А=истина
2. "корова - домашнее животное" - истинное высказывание, получаем
В и истина = ложь, В=ложь
3. "Земля - самая большая планета" - ложное высказывание, получаем
С и ложь = истина, С не существует.
4. "Земля - самая большая планета" - ложное высказывание, получаем
D и ложь = ложь, D может иметь любое значение.