Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует

Проблема автокорреляции уровней ряда динамики и остатков. Обобщенный метод наименьших квадратов

Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Например, разумно предположить, что доходы домохозяйства в текущем году зависят от доходов домохозяйства предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между ними. Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции

В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (у_t-1), а в качестве результата – доходы текущего периода (у_t), тогда приведенная выше формула примет вид

где

- средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,

а - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.

Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r₁ = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.

С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.

При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:

1. он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.

Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда. График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.

Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:

1. ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;

2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

либо d 2(1 – r_e1) ,

где r_e1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то r_e1=1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

r_e1=-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r_e1=0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d_L и d_u , где п –число наблюдений, k- независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

Есть положи-тельная автокорре-ляция остатков

Зона неопределен-ности

Автокорреля-ция остатков отсутствует

Зона неопределен-ности

Есть отрицательная автокорреля-ция остатков

0 d _L d _u 2 4- d _u 4 - d _L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

При нарушении гомоскедастичности (т.е. наличие гетероскедастичности) и наличии автокорреляции остатков рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК), который проводится по исходным данным, заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК), который проводится по преобразованным данным.

studopedia.ru

4.1. Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

(4.1)

Где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ии определяется по формуле:

(4.2)

где

(7.1.)

где , а.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
1999	I	1	375
	II	2	371
	III	3	869
	IV	4	1015
2000	I	5	357
	II	6	471
	III	7	992
	IV	8	1020
2001	I	9	390
	II	10	355
	III	11	992
	IV	12	905
2002	I	13	461
	II	14	454
	III	15	920
	IV	16	927

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2


1	2	3	4	5	6	7	8
1	375	–	–	–	–	–	–
2	371	375	-328,33	-288,13	94601,72	107800,59	83018,90
3	869	371	169,67	-292,13	-49565,70	28787,91	85339,94
4	1015	869	315,67	205,87	64986,98	99647,55	42382,46
5	357	1015	-342,33	351,87	-120455,66	117189,83	123812,50
6	471	357	-228,33	-306,13	69898,66	52134,59	93715,58
7	992	471	292,67	-192,13	-56230,69	85655,73	36913,94
8	1020	992	320,67	328,87	105458,74	102829,25	108155,48
9	390	1020	-309,33	356,87	-110390,60	95685,05	127356,20
10	355	390	-344,33	-273,13	94046,85	118563,15	74600,00
11	992	355	292,67	-308,13	-90180,41	85655,73	94944,10
12	905	992	205,67	328,87	67638,69	42300,15	108155,48
1	2	3	4	5	6	7	8
13	461	905	-238,33	241,87	-57644,88	56801,19	58501,10
14	454	461	-245,33	-202,13	49588,55	60186,81	40856,54
15	920	454	220,67	-209,13	-46148,72	48695,25	43735,36
16	927	920	227,67	256,87	58481,59	51833,63	65982,20
Сумма	10499	9947	9,05	0,05	74085,16	1153766,39	1187469,73
Среднее значение	699,33	663,13	–	–	–	–	–

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3


1	2	3	4	5	6	7	8
1	375	–	–	–	–	–	–
2	371	–	–	–	–	–	–
3	869	375	145,57	-269,79	-39273,33	21190,62	72786,64
4	1015	371	291,57	-273,79	-79828,95	85013,06	74960,96
5	357	869	-366,43	224,21	-82157,27	134270,94	50270,12
6	471	1015	-252,43	370,21	-93452,11	63720,90	137055,44
7	992	357	268,57	-287,79	-77291,76	72129,84	82823,08
8	1020	471	296,57	-173,79	-51540,90	87953,76	30202,96
9	390	992	-333,43	347,21	-115770,23	111175,56	120554,78
10	355	1020	-368,43	375,21	-138238,62	135740,66	140782,54
11	992	390	268,57	-254,79	-68428,95	72129,84	64917,94
12	905	355	181,57	-289,79	-52617,17	32967,66	83978,24
13	461	992	-262,43	347,21	-91118,32	68869,50	120554,78
14	454	905	-269,43	260,21	-70108,38	72592,52	67709,24
15	920	461	196,57	-183,79	-36127,60	38639,76	33778,76
16	927	454	203,57	-190,79	-38839,12	41440,74	36400,82
Сумма	10128	9027	-0,02	-0,06	-1034792,71	1037835,43	1116776,36
Среднее значение	723,43	644,79	–	–	–	–	–

Следовательно

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,063294
2	–0,961183
3	–0,036290
4	0,964735
5	0,050594
6	–0,976516
7	–0,069444
8	0,964629
9	0,162064
10	-0,972918
11	-0,065323
12	0,985761

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

StudFiles.ru

Автокорреляция уровней временного ряда

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

где

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью вмоментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

StudFiles.ru

Автокорреляция во временных рядах

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом длину временного смещения называют обычно лагом (t).

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле:

(3.4.12)

Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при t = 1), второго порядка (при t = 2) и т. д.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что = -. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

(3.4.13)

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34.

Тогда коэффициент автокорреляции равен:

= КОРРЕЛ (А1:А33; А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

Валовой внутренний продукт (ВВП) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.

Рис.3.4.6.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[

Дата	4кв.1994	1кв.1995	2кв.1995	3кв.1995	4кв.1995	1кв.1996	2кв.1996	3кв.1996	4кв.1996	1кв.1997
ВВП	225.00	235.00	325.00	421.00	448.00	425.00	469.00	549.00	565.00	513.00
№

Дата	2кв.1997	3кв.1997	4кв.1997	1кв.1998	2кв.1998	3кв.1998	4кв.1998	1кв.1999	2кв.1999	3кв.1999
ВВП	555.00	634.00	641.00	551.00	602.00	676.00	801.00	901.00	1102.00	1373.00
№

Дата	4кв.1999	1кв.2000	2кв.2000	3кв.2000	4кв.2000	1кв.2001	2кв.2001	3кв.2001	4кв.2001	1кв.2002
ВВП.	1447.00	1527.00	1697.00	2038.00	2044.00	1922.00	2120.00	2536.00	2461.00	2268.00
№

Дата	2кв.2002	3кв.2002	4кв.2002	1кв.2003
ВВП	2523.00	3074.00	2998.00	2893.10
№

Табл. 3.4.8.

Автокорреляционная функция
Лаг	Коэффициенты автокорреляции.
	0.914
	0.811
	0.717
	0.651
	0.576
	0.480
	0.387
	0.315

Рис. 3.4.7. Коррелограмма.

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

studopedia.ru