Как найти область определения функции

Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то

множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,

где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).

Гармоническая функция

Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .

Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .

Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}} — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

ru.wikipedia.org

Как найти область определения функции??

Юлия

1) Если в функции есть корень чётной степени, то подкореное выражение должно быть больше нуля.
2) Если в фунцкии есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю.
3) Если в функции содержитсявыражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю.
4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д. )

Например, функция
имеет область определения:

а) arcsin имеет область определения от -1 до 1;
б) x>=0 (т. к. x подкоренное выражение) ;
в) arcsin(x) не равен нулю, т. е. x не равно нулю (т. к. arcsin(x) выражение в знаменателе) .

Таким образом, область определения функции x принадлежит (0,1].
Напишите функцию.

Александра

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция - дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения.
Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.
В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.
В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают.
И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса, поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень) .

Как находить область определения функции ???

Сначала нужно найти производную этой функции
потом приравнять производную к нолю
найти неизвестную(ые)
и поставить их в производную ?
так ?))))

Serg

Область определения и область значений функции.
Пусть нам дана функция y = f(x).
Все значения независимой переменной (х) образуют область определения функции - D( f ). Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) ,
образуют область значений функции – Е ( f ).
При нахождении области определения функции надо обращать внимание на следующие моменты:
1. Пусть дана функция в виде многочлена у = Р (х) . (у = ах^n + bx^k + … + c).
В этом случае при любом значении х данная функция всегда будет иметь определенное значение. Это значит, что D(f) = (-беск; +беск)
2. Пусть дана функция в виде дроби f(x)/q(x) . В этом случае g(x) не=0.
3. Пусть дана функция вида кор из f(x). В этом случае должно выполняться
условие f(x) >= 0. (Подкоренное выражение должно принимать неотрицательные значения) .
4. При нахождении области определения логарифмической функции
у = log (осн g(x)) f(x) надо учитывать, что f(x)>0, g(x) > 0, f(x) не=1.
А производная находится при другом исследовании функции.

Video

Производная тут вообще не причём. Область определения зависит от значений, которые может принимать аргумент, что бы функция не потеряла смысл. Например для функции у=1/х область определения (-бесконечность, 0)(0,+бесконечность) то есть при х=0 функция не определена.

Роман солодухин

область определения - все возможные значения х. чтобы их найти, нужно найти все х, при которых функция будет иметь смысл, например все х, при которых знаменатель дроби не равен 0, подкоренное выражение неотрицательное и др.

Как найти область определения функции y=2x+3

1)Каков алгоритм решений функций?
2)В чём разница область значений и область определений?
3) Какой график должен получиться у этой функции? (прямая?)

Raissya_vperde

1)Область определения функций определяется как нахождение всех допустимых значеий х, и имеет некоторые ограничения.
а. Если определяемая функция нахолится в знаменателе дроби, но значение функции не должно равняться нулю.
б. Если определяемая функция находится под знаком корня, то её значение должно быть больше или равно 0.
В данной функции нет знаменателя или корня, поэтому область определения функции имеет бесконечное множетво чисел.
2)Область значений- все значения переменной y
3) эта функция имеет общий вид y=kx+b. График-прямая.

Fedor

Область определения функции это интервал на котором функция у=2х+3 имеет смысл... а область значения это множество чисел состоящее из всех значений функций.. ну в теории плохо понятно.. допустим на твоем примере.. у=2х+3 это прямая... она определена везде.. т. е область определения х принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности и также область значений только y принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности... а если взять у=корень (х-5).. то смотрите это функция имеет смысл только когда подкоренное выражение больше или равно нуля... т. е. х-5>=0 ; x>=5..Т. е. получается область определения от 5 до плюс бесконечности... А область значений.. это какие значения принимает у при х от 5 до бесконечности.. и получается что у принимает только положительные значения... т. е. у принадлежит от 0 до плюс бесконечности..

Kiara

1 ???Это школа? Спроси учителя своего лучше, чем больше будешь узнавать про функции, тем более бедет усложняться алгоритм их решений (или я не поняла вопроса?? )
2 Область определений - какие значения может принимать переменная в данной функции, в твоем случае функция определена на всей числовой прямой, а вот если бы у тебя была функция, например, y=1/x, то функция была бы не определена в точке х=0, потому что x здесь стоит в знаменателе и не может обращаться в 0 (на 0 делить нельзя)
Область значений - какие значения может принимать функция (проще говоря чему равен y или f(x) ), в твоем случае опять же область значений от минус бесконечности до плюс бесконечности, а к примеру y=x^2 область значений от нуля до плюс бесконечности (потому что любое значение х при возведении в квадрат даст положительный у)
3 функции типа f(x)=kx+c, (k и c - числа) - всегда задают прямую