Определение объема выборки

4.2. Планирование выборки

	Идентификация объектов генеральной совокупности
	\|
	Выбор метода обследования

Сплошное обследование			Выборочное обследование


		Выбор процедуры формирования выборки		Расчет объема выборки


	Реализация плана выборки

Рис. 4.3. Планирование выборки

Планирование выборки включает следующие процедуры (рис. 4.3):

Выделение объектов генеральной совокупности.
Определение метода обследования.
Определение процедуры формирования выборки.
Определение объема выборки.

Выделение объектов генеральной совокупности

Генеральная совокупность — это множество всех единиц, являющихся объектами исследования.

На этом этапе подготовки исследования необходимо определить, какие субъекты составляют исследуемую генеральную совокупность. Как правило, субъекты, входящие в генеральную совокупность, неоднородны, поэтому при определении типичных представителей объекта исследования некоторые группы могут быть упущены. Особенно сложно представить все элементы генеральной совокупности, состоящей из организаций, поскольку не все фирмы афишируют свою деятельность. В качестве генеральной совокупности могут быть определены рынок в целом, сегмент рынка или целевая группа субъектов.

Определение метода обследования

В зависимости от объема генеральной совокупности и целей исследования могут быть использованы методы сплошного или выборочного обследования.

Метод сплошного обследования заключается в изучении всех единиц генеральной совокупности. Метод связан с высокими затратами на проведение исследования, его использование оправдано, например, в случае малого количества потребителей, представляющих сегмент, или в случае, когда объем покупок данного клиента составляет значительную долю от емкости рынка в целом.

Выборка — это группа объектов исследования, которая является носителем характеристик всех единиц генеральной совокупности, например группа потребителей, представляющих интересы и вкусы всего целевого рынка.

Метод выборочного обследования обеспечивает меньшую точность по сравнению с методом сплошного обследования, однако он менее трудоемок. Целесообразно использование данного метода при наличии большого числа однородных единиц генеральной совокупности.

Метод выборочного обследования предоставляет информацию о генеральной совокупности на основании обследования только ее части, поэтому данные, полученные в ходе выборочного обследования, имеют вероятностный характер. На практике это означает, что в результате исследования определяется не конкретное значение, а интервал, в котором находится искомое значение. Вероятность, с которой можно утверждать, что ошибка выборки не превысит некоторую заданную величину, называется доверительной вероятностью.

Свойство выборки отражать характеристики генеральной совокупности называется репрезентативностью. Различие между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей называется ошибкой выборки, которая зависит от выбранной процедуры составления (формирования) выборки.

Процедуры формирования выборки

Процедура составления выборки - это последовательность отбора респондентов в выборку.

Отбор респондентов может сопровождаться систематическими и случайными ошибками. Систематические ошибки возникают при неправильно выбранной процедуре составления выборки. Случайные ошибки существуют всегда, поскольку связаны с влиянием сложно-предсказуемых факторов. Влияние случайности полностью устранить невозможно, но величину случайной ошибки можно определить с помощью статистических методов. Систематическую ошибку невозможно оценить, но можно устранить, изменив процедуру выборки.

Учитывая наличие двух типов ошибок при формировании выборки, выделяют случайные (вероятностные) и неслучайные (детерминированные) виды процедур составления выборки.

Неслучайные процедуры формирования выборки

Неслучайные процедуры составления выборки самим процессом формирования предполагают неслучайный выбор респондентов, чье мнение может отличаться от мнения генеральной совокупности в целом, порождая тем самым наличие неслучайной (систематической) ошибки данных в результатах исследования. При использовании неслучайных процедур отбор респондентов в выборку производится на основе каких-либо принятых условий, ограничивающих круг вероятных участников исследования. Например, в выборку отбираются только те респонденты, которые владеют компьютером или зашли в магазин с 10 до 11 часов.

Возможны следующие виды неслучайных выборок:

• произвольная выборка — элементы выбираются без плана, бессистемно; способ недорог и удобен, но порождает неточность и нерепрезентативность;

типовая выборка — набор ограничен лишь характерными (типичными) элементами генеральной совокупности; используется, например, при формировании фокус-групп; требует, однако, наличия сведений о типичности изучаемых объектов;
квотированная выборка — структура выборки строится по аналогии с распределением определенных признаков в генеральной совокупности; от каждой группы генеральной совокупности отбираются участники исследования, количество которых пропорционально представительству группы в генеральной совокупности.

Случайные процедуры формирования выборки

При формировании случайной выборки применяют следующие процедуры.

простая выборка — элементы выбираются с помощью случайных чисел; при данном подходе предполагается, что для всех единиц генеральной совокупности вероятность быть избранной в выборочную совокупность одинакова (значение вероятности равняется отношению объема выборки к объему генеральной совокупности). Метод очень трудоемок и обязывает иметь список всех единиц генеральной совокупности;
систематическая (механическая) выборка — первый элемент выбирается с помощью случайных чисел, остальные элементы выборки отбираются через равные интервалы (интервал скачка), которые равны отношению объема генеральной совокупности к объему выборки. Данный порядок формирования выборки значительно упрощает процедуру, однако может внести искажения в структуру выборки, если генеральная совокупность упорядочена по какому-либо признаку.

Если генеральная совокупность упорядочена по существенному признаку (признак считается существенным, если он определяет состояние исследуемого показателя), то для уменьшения искажений выборочной характеристики следует отбирать единицы выборки из середины установленного интервала. Аналогично поступают и в том случае, когда генеральная совокупность упорядочена по второстепенному признаку, частично влияющему на изучаемый объект.

Если генеральная совокупность упорядочена по нейтральному признаку (который не оказывает влияния на поведение изучаемого объекта), то допустимо включение в выборку любой единицы генеральной совокупности из установленного интервала;

• стратифицированная (типическая или групповая) выборка — генеральная совокупность делится на группы с набором определенных признаков (сегменты или страты), в каждой из которой с помощью случайного отбора формируется своя выборка; весовой коэффициент каждой страты в общем объеме выборки соответствует ее удельному весу в генеральной совокупности; • кластерная (серийная) выборка — генеральная совокупность делится на идентичные группы (гнезда, клумбы или кластеры). Кластеры должны быть по возможности однотипными, состав кластера должен быть подобен генеральной совокупности. Случайным образом из генеральной совокупности отбираются несколько групп, которые подвергаются сплошному обследованию (одноступенчатый подход). Возможен и двухступенчатый подход, когда первоначально формируется выборка из кластеров, из нее случайным образом отбираются единицы исследования (т. е. единица выборки предыдущей стадии становится генеральной совокупностью для последующей). Недостаток этой процедуры формирования выборки — кластеры могут быть неоднородны между собой, однако эта процедура проста и экономична.

Многоступенчатые выборки

Любой тип выборки может быть как одно-, так и многоступенчатым. Многоступенчатая выборка применяется в тех случаях, когда извлечь выборку из генеральной совокупности прямым путем затруднительно, при этом все единицы отбора на каждой ступени равноценны для обследования.

Многоступенчатый отбор, соединяющий различные процедуры формирования выборки, делает выборку комбинированной. Такой вариант формирования выборки позволяет добиться наиболее рациональных и экономичных условий сбора данных в соответствии с поставленными задачами.

Определение объема выборки

Определение размера выборки является некоторым компромиссом между теорией о точности результатов исследования и возможностью ее практической реализации по объему затрат на сбор информации.

Наиболее применимы следующие методы определения объема выборки:

1. Произвольный метод расчета; в этом случае объем выборки определяется на уровне 5-10 % от генеральной совокупности.

Традиционный метод расчета; связан с проведением периодических ежегодных исследований, охватывающих, например, 500, 1000 или 1500 респондентов.
Статистический метод расчета; основывается на определении статистической надежности информации.
Метод расчета с помощью номограмм.
Эмпирический метод; в этом случае выборка считается достаточной, когда все новые сведения вносят лишь незначительные изменения (которыми можно пренебречь) в уже собранные результаты исследования.
Затратный метод; основан на размере расходов, которые допустимо затратить на проведение исследования.

Статистический метод расчета объема выборки

На объем статистической выборки влияют следующие факторы:

Наличие сведений об объеме генеральной совокупности и степени ее однородности.
Требуемая точность результатов, регулируемая величиной максимально допустимой ошибки репрезентативности и величиной доверительной вероятности, с которой делается заключение о достоверности результатов исследования.
Наличие сведений о средних показателях генеральной совокупности по исследуемому признаку или об интервале варьирования признака(дисперсии).
Возможность повторного попадания единицы генеральной совокупности в выборку.

При определении объема выборки для больших совокупностей (когда объем выборки составляет менее 5% генеральной совокупности) могут использоваться следующие формулы:

а) повторная выборка (при возможности повторного попадания единицы генеральной совокупности в выборку) при неизвестном объеме генеральной совокупности, но известном распределении контролируемого признака:

(4.1)

где t— нормированное отклонение, которое определяется по выбранному уровню доверительной вероятности (при 95% доверительной вероятности t= 1,96; при 99% доверительной вероятности t= 2,58); р — найденная вариация генеральной совокупности, в % или в долях; q= 100 - р; Д — допустимая ошибка, в % или в долях;

б) повторная выборка при известной дисперсии изучаемого признака (о):

(4.2)

в) бесповторная выборка (при исключении возможности повторного попадания единицы генеральной совокупности в выборку) при известном объеме генеральной совокупности и известном распределении контролируемого признака:

(4.3)

где N— объем генеральной совокупности;

г) бесповторная выборка при известной дисперсии изучаемого признака:

(4.4)

Выборка признается малой, если ее объем превышает 5% генеральной совокупности, в этом случае объем выборки может быть откорректирован:

(4.5)

где п' — объем выборки для малой совокупности, п — объем статистической выборки, N— объем генеральной совокупности.

Расчет статистической выборки при нормированном отклонении t= 2 и допустимой ошибке 5% (см. табл. 4.2) показывает, что для больших совокупностей объем выборки может быть определен любым способом, поскольку используемые практические приемы приводят скорее к завышению объема обследуемой совокупности.

Таблица 4.2 Зависимость размера выборки от величины генеральной совокупности*

Объем генеральной совокупности	500	1000	2000	3000	4000	5000	10 000	100 000	>
Объем выборки	222	286	333	350	360	370	385	398	400

* при нормированном отклонении t= 2 и допустимой ошибке 5%.

Из табл. 4.2 видно, что при размере генеральной совокупности более 5000 ее величина не влияет на размер выборки, поэтому формула может принять следующий вид (величиной 1/Nможно пренебречь):

(4.6)

Например, из проведенных ранее исследований известно, что распределение ответов на интересующий исследователя вопрос (например о статусе пользователя) составило 60% и 40% (60% респондентов ответили утвердительно на вопрос о пользовании продуктом и 40% — отрицательно). Доля целевых респондентов в общем объеме респондентов составляет 70%. Для более детального анализа необходимо получить 100 положительных ответов. Чтобы получить этот результат, требуется опросить 238 человек:

(4.8)

Таким образом, при отсутствии точной информации о размере и характеристиках генеральной совокупности (при условии, что она не менее 5000) достаточно включить в выборку 400 ее представителей. Однако следует учесть, что если мы собираемся контролировать структуру выборки по нескольким параметрам, то объем выборки будет гораздо больше. Г. А. Черчилль в своей работе «Маркетинговые исследования» приводит на этот счет правило: «Объем выборки должен обеспечивать не менее 100 наблюдений для каждой первостепенной и не менее 20-50 наблюдений для каждой второстепенной классификационной составляющей»; также следует сделать поправку на то, что отдельные респонденты, включенные в выборку, могут оказаться вне досягаемости или отказаться участвовать в исследовании.1

Количество респондентов, которых необходимо опросить для получения необходимого количества положительных ответов на интересующий вопрос, можно рассчитать по формуле:

(4.7)

где П — требуемое для анализа количество положительных ответов; Pj — доля положительных ответов; Р₂— доля целевых групп, рассчитываемая как произведение всех долей респондентов, удовлетворяющих установленным требованиям (возраст, пол, статус пользователя и т. д.).

Использование номограмм для расчета объема выборки

Стремление упростить процедуру расчета объема выборки приводит к созданию таблиц, шкал или программ, которые ориентированы на обеспечение статистической надежности информации, но при этом не обременяют пользовагеля знаниями специальных формул из области статистики. Например, существует калькулятор выборки (www. shortway. to/few/calculator, htm), на сайте Gallup (www. gallup. ru) можно найти таблицу, связывающую показатели размера выборки, распределения ответов с величиной стандартной ошибки (табл. 4.3).

Таблица 4.3 Взаимосвязь показателей размера выборки, распределения ответов и стандартной ошибки

Распределение ответов, %			Размер выборки,			ед.
Распределение ответов, %	25	50	100	150	200	300	500	1000
50 : 50	10,0	7,1	5,0	4,1	3,5	2,9	2,2	1,6
45 :55	9,9	7,0	5,0	4,1	3,5	2,9	2,2	1,6
40:60	9,8	6,9	4,9	4,0	3,5	2,8	2,2	1,5
35:65	9,5	6,7	4,8	3,9	3,4	2,8	2,1	1,5
30:70	9,2	6,5	4,6	3,7	3,2	2,6	2,0	1,4
25:75	8,7	6,1	4,3	3,5	3,1	2,5	1,9	1,4
20:80	8,0	5,7	4,0	3,3	2,8	2,3	1,8	1,3
15:85	7,1	5,0	3,6	2,9	2,5	2,1	1,6	1,1
10:90	6,0	4,2	3,0	2,4	2,1	1,7	1,3	0,9
5 :95	4,4	3,1	2,2	1,8	1,5	1,3	1,0	0,7

Номограмма является графическим способом определения размера выборки. Номограмма включает три шкалы (рис. 4.4). На шкале слева устанавливается разметка показателя среднеквадратического отклонения или распределения доли признака. На правой шкале наносится разметка точности измерения в виде допустимой ошибки (половины интервала) при заданной доверительной вероятности 95 или 99%. На средней шкале делается разметка, соответствующая требуемому объему выборки. На правой и левой шкалах делаются отметки на уровне желаемых значений показателей (доли признака и допустимой ошибки). Линейкой эти две отметки соединяются, на пересечении линейки со средней шкалой делается отметка, соответствующая тому объему выборки, который отвечает пожеланиям исследователя.

Рис. 4.4. Номограмма для определения объема выборки (доверительная вероятность 95%)'

StudFiles.ru

4.5. Определение объема выборки

Процедура составления плана выборки включает последовательное решение трех следующих задач:

- определение объекта исследования;

- определение структуры выборки;

- определение объема выборки.

Как правило, объект маркетингового исследования представляет собой совокупность объектов наблюдения, в качестве которых могут выступать потребители, сотрудники компании, посредники и т.д. Если эта совокупность настолько малочисленна, что исследовательская группа располагает необходимыми трудовыми, финансовыми и временными возможностями для установления контакта с каждым из ее элементов, то вполне реально проведение сплошного исследования всей совокупности. В этом случае, определив объект исследования, можно приступать к следующей процедуре (выбору метода сбора данных, орудия исследования и способа связи с аудиторией).

Однако на практике очень часто не представляется возможным или целесообразным проведение сплошного исследования всей совокупности. Для этого могут быть следующие причины:

-невозможность установления контакта с некоторыми элементами совокупности;

-неоправданно большие расходы на проведение сплошного исследования или наличие финансовых ограничений, не позволяющих проведение сплошного исследования;

-сжатые сроки, отведенные для исследования, обусловленные утратой со временем актуальности информации или другими причинами и не позволяющие осуществить сбор, систематизацию и анализ обширных данных для всей совокупности.

Поэтому большие и разбросанные совокупности часто изучаются с помощью выборки, под которой, как известно, понимается часть совокупности, призванная олицетворять совокупность в целом.

Точность, с которой выборка отражает совокупность в целом, зависит от структуры и размера выборки.

Различают два подхода к структуре выборки — вероятностный и детерминированный.

Вероятностный подход к структуре выборки предполагает, что любой элемент совокупности может быть выбран с определенной (не нулевой) вероятностью. Существуют различные виды выборок, основанных на теории вероятностей (типическая, гнездовая и др.). Наиболее простой и распространенной на практике является простая случайная выборка, при которой каждый элемент совокупности имеет равную вероятность выбора для исследования.

Вероятностная выборка более точна, позволяет исследователю оценить степень достоверности собранных им данных, хотя она сложней и дороже, чем детерминированная.

Детерминированный подход к структуре выборки предполагает, что выбор элементов совокупности производится методами, основанными либо на соображениях удобства, либо на решении исследователя, либо на контингентных группах.

Метод формирования выборки, основанный на соображениях удобства, состоит в выборе любых элементов совокупности исходя из простоты установления контакта с ними. Несовершенство этого метода обусловлено, возможно, низкой репрезентативностью полученной выборки, т.к. удобные для исследователя элементы совокупности могут быть недостаточно характерными представителями совокупности в силу неслучайного и необоснованного их отбора.

Однако, с другой стороны, простота, экономичность и оперативность исследования, проводимого этим методом, снискали ему довольно широкое распространение на практике и, прежде всего при проведении предварительных исследований, направленных на уточнение основных проблем.

Метод формирования выборки, основанный на решении исследователя, состоит в выборе элементов совокупности, которые, по его мнению, являются ее характерными представителями. Этот метод является более совершенным, чем предыдущий, поскольку в его основе лежит ориентировка на характерных представителей исследуемой совокупности, хотя и подбираемых на основе субъективных представлений исследователей о ней.

Метод формирования выборки, основанный на контингентных нормах, состоит в выборе характерных элементов совокупности в соответствии с полученными ранее характеристиками совокупности в целом. Эти характеристики могут быть получены путем проведения предварительных исследований и в отличие от предыдущего метода не носят субъективного характера. Поэтому данный метод является более совершенным, он позволяет получить выборочные совокупности не менее представительные, чем вероятностные выборки при значительно меньших затратах на проведение обследования.

Выбрав структуру выборки (подход к ее формированию, вид вероятностной или метая формирования детерминированной выборки), исследователю предстоит определить объем, т.е. количество элементов выборочной совокупности.

Объем выборкиопределяет достоверность информации, полученной в результате ее исследования, а также необходимые для проведения исследования затраты. Объем выборки зависит от уровня однородности или разновидности изучаемых объектов.

Чем больше объем выборки, тем выше ее точность и больше затраты на проведения ее обследования. При вероятностном подходе к структуре выборки ее объем может быть определен с помощью известных статистических формул, на основе заданных требований к ее точности.

На практике используется несколько подходов к определению объема выборки:

1. Произвольный подход основан на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5 % от совокупности. Данный подход является простым и легким в исполнении, однако не представляется возможным установить точность полученных результатов. При достаточно большой совокупности он к тому же может быть и весьма дорогим.

Объем выборки может быть установлен исходя из неких заранее оговоренных условий. К примеру, заказчик маркетингового исследования знает, что при изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000-1200 человек, поэтому он рекомендует исследователю придерживаться данной цифры. В случае, если на каком-то рынке проводятся ежегодные исследования, то в каждом году используется выборка одного и того же объема. В отличие от первого подхода здесь при определении объема выборки используется известная логика, которая, однако, является весьма уязвимой.

Например, при проведении определенных исследований может потребоваться точность меньше, чем при изучении общественного мнения, да и объем совокупности может быть во много раз меньше, нежели при изучении общественного мнения. Таким образом, данный подход не принимает в расчет текущие обстоятельства и может быть достаточно дорогим.

В ряде случаев в качестве главного аргумента при определении объема выборки используется стоимость проведения обследования. Так, в бюджете маркетинговых исследований предусматриваются затраты на проведение определенных обследований, которые нельзя превышать. Очевидно, что ценность получаемой информации не принимается в расчет. Однако в ряде случаев и малая выборка может дать достаточно точные результаты.

Представляется разумным учитывать затраты не абсолютным образом, а по отношению к полезности информации, полученной в результате проведенных обследований. Заказчик и исследователь должны рассмотреть различные объемы выборки и методы сбора данных, затраты, учесть другие факторы

2. Объем выборки от уровня доверительного интервала допустимой ошибки, каковая, как уже говорилось, задается целесообразной точностью итоговых обобщений: от повышенной до ориентировочной. Однако здесь имеются в виду так называемые случайные ошибки, связанные с природой любых статистических погрешностей. Именно они и вычисляются как ошибки репрезентативности вероятностных выборок.

В. И. Паниотто приводит следующие расчеты репрезентативной выборки с допущением 5-процентной ошибки (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Расчетная таблица выборки

Объем генеральной совокупности	500	1000	2000	3000
Объем выборки	222	286	333	350
Объем генеральной совокупности	4000	5000	10000	100000
Объем выборки	360	370	385	398

Для совокупности более 100000 выборка составляет 400 единиц. Если же иметь в виду генеральные совокупности численностью от 5 тыс. и больше, то, по расчетам того же автора, можно указать величины фактической ошибки выборки в зависимости от ее объема, что для нас весьма важно, памятуя, что величина допустимой ошибки зависит от цели исследования и необязательно должна приближаться к 5-процентному уровню.

Таблица 4.3

Расчетная таблица

Объем выборки, если генеральная совокупность  5000	25	45	100	123	156	204	400	625...
Фактическая ошибка при данном объёме выборки, %	20	15	10	9	8	7	5	4

Наряду со случайными возможны ошибки систематического характера. Они зависят от организации выборочного обследования. Это разнообразные смещения выборки в сторону одного из полюсов выборочного параметра.

3. Объем выборки на основе статистического анализа. Этот подход основан на определении минимального объема выборки исходя из определенных требований к надежности и достоверности получаемых результатов. Он также используется при анализе полученных результатов для отдельных подгрупп, формируемых в составе выборки по полу, возрасту, уровню образования и т.п. Требования к надежности и точности результатов для отдельных подгрупп диктуют определенные требования к объему выборки в целом.

Наиболее теоретически обоснованный и корректный подход к определению объема выборки основан на расчете достоверных интервалов. Понятие вариации характеризует величину несхожести (схожести) ответов респондентов на определенный вопрос. В более строгом плане вариацией значений какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Результаты ответов на вопросы опроса обычно представляются в форме кривой распределения (рис. 4.1). При высокой схожести ответов говорят о малой вариации (узкая кривая распределения) и при низкой схожести ответов – о высокой вариации (широкая кривая распределения).

В качестве меры вариации обычно принимается среднее квадратическое отклонение, которое характеризует среднее расстояние от средней оценки ответов каждого респондента на определенный вопрос.

Малая вариация

Высокая вариация

Рис. 4.1. Вариация и кривые распределения

Поскольку все маркетинговые решения принимаются в условиях неопределенности, то это обстоятельство целесообразно учесть при определении объема выборки. Так как определение исследуемых величин для совокупности в узком осуществляется на основе выборочной статистики, то следует установить диапазон (доверительный интервал), в который, как ожидается, попадут оценки для совокупности в целом, и ошибку их определения.

Доверительный интервал – это диапазон, крайним точкам которого соответствует определенный процент определенных ответов на какой-то вопрос. Доверительный интервал тесно связан со средним квадратическим отклонением изучаемого признака в генеральной совокупности: чем оно больше, тем шире должен быть доверительный интервал, чтобы включить в свой состав определенный процент ответов.

Доверительный интервал, равный или 95 %, или 99 %, является стандартным при проведении маркетинговых исследований. Ни одна фирма не проводит маркетинговых исследований, формируя несколько выборок. И математическая статистика дает возможность получить некую информацию о выборочном распределении, владея только данными о вариации единственной выборки.

Индикатором степени отличия оценки, истинной для совокупности в целом, от оценки, которая ожидается для типичной выборки, является средняя квадратическая ошибка. Причем, чем больше объем выборки, тем меньше ошибка. Высокое значение вариации обусловливает высокое значение ошибки и наоборот.

Когда на заданный вопрос существует только два варианта ответа, выраженные в процентах (используется процентная мера), объем выборки определяется по следующей формуле:

где n – объем выборки; z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности; p – найденная вариация для выборки; g – (100-р); е – допустимая ошибка.

При определении показателя вариации для определенной совокупности прежде всего целесообразно провести предварительный качественный анализ исследуемой совокупности, в первую очередь установить схожесть единиц совокупности в демографическом, социальном и других отношениях, представляющих интерес для исследователя. Возможно проведение пилотного исследования, использование результатов подобных исследований, проведенных в прошлом. При использовании процентной меры изменчивости принимается в расчет то обстоятельство, что максимальная изменчивость достигается для р = 50 %, что является наихудшим случаем. К тому же этот показатель радикальным образом не влияет на объем выборки. Учитывается также мнение заказчика исследования об объеме выборки.

Возможно определение объема выборки на основе использования средних значений, а не процентных величин.

где s – среднее квадратическое отклонение.

На практике, если выборка формируется заново и схожие опросы не проводились, то s не известно. В этом случае целесообразно задавать погрешность е в долях от среднеквадратического отклонения. Расчетная формула преобразуется и приобретает следующий вид:

где .

Выше шел разговор о совокупностях очень больших размеров. Однако в ряде случаев совокупности не являются большими. Обычно, если выборка составляет менее пяти процентов от совокупности, то совокупность считается большой и расчеты проводятся по вышеприведенным правилам. Если объем выборки превышает 5 % от совокупности, то последняя считается малой и в вышеприведенные формулы вводится поправочный коэффициент.

Объем выборки в данном случае определяется следующим образом:

StudFiles.ru

Определение объема вероятностной выборки

Объем вероятностной выборки определяется по специальным формулам, в зависимости от заданной достоверности, точности исследования и дисперсии генеральной совокупности.

Теоретической основой возможности использования выборочного обследования для оценки характеристик генеральной совокупности является центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема гласит: для простых случайных выборок объемом n, выделенных из генеральной совокупности с истинным средним μ и дисперсией σ2, для больших n распределение выборочных средних приближается к нормальному с центром, равным истинному среднему, и дисперсией, равной отношению дисперсии генеральной совокупности к объему выборки, то есть:

Теорема верна для любого распределения частот в генеральной совокупности, однако чем ближе распределение в генеральной совокупности к нормальному, тем меньший объем выборки необходим для достижения эквивалентной достоверности и точности исследования.

На практике исследователь формирует только одну выборку из генеральной совокупности и ему необходимо знать, какой должен быть объем выборки для соблюдения заданных параметров достоверности и точности. Формула для определения объема выборки при оценке среднего может быть выведена, исходя из положений центральной предельной теоремы, и имеет вид:

где

n - необходимый объем выборки;

z - количество интервалов, характеризующих требование к достоверности исследования;

H - требуемая величина точности исследования;

σ2 - дисперсия генеральной совокупности.

Рассмотрим подробнее параметры правой части уравнения.

Достоверность характеризует вероятность того, что конкретная случайная выборка адекватно отражает характеристику генеральной совокупности.

Достоверность 99% означает, что в 99 выборках из 100 средняя генеральной совокупности будет входить в интервал средней, полученной в результате выборочного исследования.

Пример. Например, проведено три независимых выборочных исследования уровня доходов населения в конкретном регионе. Получены следующие данные о среднем уровне дохода: 300 10 грн., 310 10 грн., 305 10 грн., истинное среднее значение равно 302 грн.

Как видим, истинное среднее значение входит во все три интервала.

При достоверности 99% и заданной точности 10 грн. в 99 выборках из ста среднее выборки будет находиться в интервале от 292 до 312 грн. В одном случае из ста мы получим результат либо ниже 292 грн., либо больше 312 грн. Результаты такого исследования будут недостоверны, т.к. среднее генеральной совокупности не будет входить в коридор полученной в результате выборочного исследования средней величины.

В представленной формуле достоверность характеризуется величиной z, которая определяется по таблице z-распределения в зависимости от заданной достоверности в процентах.

Приведем соответствие только для некоторых типичных вероятностей: 68,26% (z=1), 95,45% (z=2), 99,73% (z=3).

z-распределение – Стандартное нормальное (Z) распределение

Значение z (z value) – количество стандартных ошибок, на которое точка удалена от среднего значения.

Вместо таблицы для вычисления вероятности попадания случайной величины в отмеченный (заштрихованный) диапазон

можно воспользоваться следующей формулой EXCEL:

=2*НОРМСТРАСП(z)-1

подставив в нее требуемое значение z. Например:

z	Формула	Результат
	=2*НОРМСТРАСП(1)-1	0,6827
	=2*НОРМСТРАСП(2)-1	0,9545
	=2*НОРМСТРАСП(3)-1	0,9973

Точность определяется исследователем, исходя из конкретной поставленной задачи.

Если исследуемая величина является абсолютной, то и точность должна быть представлена абсолютной, а не относительной величиной. При определении процентов (долей) точность определяется в процентах.

При определении точности исследователь должен учитывать возможное исследование динамики показателя.

Пример. Например, если при точности 10 грн. результаты исследования в прошлом году определили средний доход в 300 грн., а в текущем 305 грн., делать выводы об увеличении дохода некорректно, т.к. величина изменения входит в заданный интервал точности (менее 10 грн.).

Наиболее сложным при расчете объема выборки является определение дисперсии. При оценке среднего возникают два основных случая:

1) дисперсия генеральной совокупности известна на основании предыдущих исследований;

2) дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Возможность использования дисперсии, полученной в результате предыдущих исследований, основана на том, что этот параметр генеральной совокупности более инерционен, чем среднее. Другими словами, он изменяется медленнее и, следовательно, если вы, к примеру, ежегодно изучаете уровень дохода населения, то можете использовать величину дисперсии, полученную в прошлогодних исследованиях.

Пример расчета объема выборки.

Во-первых, на объем выборки влияет уровень доверительности α, по которому при помощи специальной таблицы определяется нормированное отклонение z. Например, для случая α = 99% по таблице найдем z = 2,58.

Во-вторых, оказывает влияние уровень (коэффициент) вариации. Примем, например, коэффициент вариации равным = 50%.

В-третьих, на объем выборки влияет требуемая точность (допустимая ошибка).

Иногда точность определена в относительных, а не абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от среднего. Это означает, что H = R·μ, где μ – среднее совокупности.

Примем допустимую ошибку равной R = 6%.

Тогда с учетом того, что коэффициент вариации , объем выборки составит:

= = = 462,25 ≈ 463 (округлено в большую сторону до ближайшего целого числа).

Если об уровне генеральной Вам ничего неизвестно, то для оценки уровня дисперсии возможно применение правила трех сигм. При нормальном распределении 99% параметров характеристики должно находиться в интервале плюс-минус три сигмы от истинной средней. Проводя исследование, Вы должны оценить типичный верхний (b) и нижний (a) уровни параметра, интервал между которыми и составляет шесть сигм. Величина сигмы составит разницу уровней параметра деленную на 6.

Дисперсия или вариация var:

где b, a – соответственно верхнее и нижнее значение параметра.

Сигма – это среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение):

Пример. Например, при исследовании уровня дохода нижнее значение параметра принимается на уровне 0 грн., а верхнее, предположим, на уровне 6000 грн. В этом случае значение среднеквадратичного (стандартного) отклонения составит: (6000-0)/6=1000.

Следует заметить, что если исследователь действительно готов к проведению исследования, то определение типичных нижней и верхней границы параметра не представляют особой сложности.

При работе с маркетинговыми шкалами принимаемая величина дисперсии зависит от количества точек шкалы и типа распределения частот.

Наихудшим в маркетинговых исследованиях (соответствующей максимальной дисперсии) считается равномерное распределение ответов между точками шкалы. Наилучшим – нормальное с максимальной частотой ответов в середине шкалы.

Таблица 5.1. Типовые диапазоны дисперсий в зависимости от количества точек шкалы

Количество точек шкалы	Диапазоны дисперсий
	0,7-1,3 1,2-2,0 2,0-3,0 2,5-4,0 3,0-7,0

Нижние уровни диапазона соответствуют нормальному распределению частот, верхние – равномерному.

Рассмотренная выше формула определения объема выборки применяется при оценке средних величин.

Если исследователь работает с процентами или долями, то формула трансформируется в следующий вид:

где р - доля людей, положительно или отрицательно отвечающих на поставленный вопрос.

При работе с процентами в формулу вместо единицы подставляется 100.

Очевидно, что максимальное значение множителя (1-р)р имеет место при одинаковой доле положительных и отрицательных ответов и составляет при работе с долями 0,25, а при работе с процентами – 2500. Однако результат при работе с долями или процентами будет эквивалентен, так как численное значение квадрата точности, стоящее в знаменателе, также будет отличаться в 10000 раз.

Задача. При исследовании доли домохозяйств, которые имеют автомобили, заранее эта доля была оценена в 20%. Какой объем выборки необходим для обеспечения достоверности исследования на уровне 95% и точности 1%?

Решение. Дисперсия составит: = (100-20)*20=1600. При заданной достоверности исследования 95% величина z ≈ 2. Тогда объем выборки:

= = =6400.

Малхотра, С.449:

Объем генеральной совокупности N не влияет на объем выборки напрямую, за исключением случаев, когда применяется коэффициент окончательной коррекции совокупности. Возможно, это кажется невероятным, но если подумать, в этом утверждении есть смысл. Например, если исследуемые характеристики всех элементов совокупности идентичны, то выборки, состоящей из одного элемента, вполне достаточно, чтобы рассчитать среднее. Это также правильно, если совокупность состоит из 50, 500, 5000 или 50000 элементов.

В то же время изменчивость характеристик совокупности напрямую влияет на объем выборки. Эта изменчивость учитывается при вычислении объема выборки с помощью дисперсии совокупности σ2 или дисперсии выборки s2.

Пример (Н.Б.Сафронова, И.Е.Корнеева). Проведем расчет выборки для маркетингового исследования, посвященного узнаваемости потребителями торговой марки. Значение вероятности P = 0,954, предельно допустимая ошибка данного исследования не должна превышать 5%. Какое количество респондентов необходимо опросить для решения этой проблемы в порядке случайной повторной выборки притом, что данные о распределении признаков отсутствуют?

Решение. Так как доля признака неизвестна, допустим, что 50% потребителей знают торговую марку, а 50% – нет. Используем формулу расчета выборки с учетом доли признака:

= =400 чел.

Более сложные методы расчета объема выборки необходимы при использовании в процессе анализа двойной или тройной табуляции. Это связано с тем, что достоверность и точность, достигаемая при рассчитанном объеме выборки, для выборки в целом, не достигается для отдельных ее частей, на которые разбивается выборка в процессе табуляции.

Пример. Например, при определении среднего уровня дохода населения определенный объем выборки может быть достаточен, но он недостаточен для определения среднего уровня дохода мужчин и женщин (при заданных точности и достоверности). Это легко понять, потому что количество мужчин и женщин, принявших участие в опросе отдельно, меньше количества всех респондентов. Зная, однако, соотношение мужчин и женщин, легко определить, с какой точностью рассчитан уровень среднего дохода для каждой из рассматриваемых групп.

studopedia.ru

Определение объема выборки: среднее

Метод, использованный для создания доверительного интервала, можно модифицировать так, чтобы определить объем выборки с учетом желательного доверительного интервала. Предположим, что вы хотите рассчитать ежемесячный расход семьи на покупки в универмаге более точно, так, чтобы полученный результат находился в пределах ±5,00 долларов от истинного среднего значения исследуемой совокупности. Каким должен быть объем выборки? В табл. 12.2 приведен необходимый перечень действий, который вы должны выполнить.

1. Определите степень точности. Это максимально допустимое различие (D) между выборочным средним и генеральным средним. В нашем примере D = ±5,00 долларов.

2. Укажите уровень достоверности. Предположим, что желательный уровень достоверности 95%.

3. Определите значение г, связанное с данным уровнем достоверности, воспользовавшись табл. 2 в Приложении "Статистические таблицы". При 95%-ном уровне достоверности вероятность того, что среднее значение генеральной совокупности выйдет за пределы одностороннего интервала, равна 0,025 (0,05/2). Соответствующее значение г составляет 1,96.

4. Определите стандартное отклонение среднего генеральной совокупности. Его можно получить из вторичных источников или рассчитать, проведя пилотное исследование. Кроме того, стандартное отклонение можно установить на основе мнения исследователя. Например, диапазон нормально распределенной переменной примерно укладывается в шесть стандартных отклонений (по три слева и справа от среднего значения). Таким образом, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение, разделив величину всего диапазона на 6. Исследователь часто может определить размеры диапазон, исходя из собственного понимания анализируемых явлений.

5. Определите объем выборки, воспользовавшись формулой стандартной ошибки среднего:

В нашем примере

(округленное в большую сторону до ближайшего целого числа).

неквадратичное отклонение выборки 5, равное 50,00. Тогда исправленный доверительный интервал составит

Обратите внимание, что полученный доверительный интервал уже предполагаемого. Это вызвано тем, что среднеквадратичное отклонение совокупности завышено на основании выборочных характеристик.

8. Иногда точность определена в относительных, а не абсолютных показателях. Другими словами, может быть известно, что результат вычисления должен составить плюс-минус R% от среднего. Это означает, что D = rm .

В этом случае объем выборки можно определить как