Определение периода

Период колебаний

Размерность Единицы измерения СИ
Период
T {\displaystyle T}

T

с

Период колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние[1], в котором он находился в первоначальный момент, выбранный произвольно).

В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея в виду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.

Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическими колебаниям (а приближенно — с тем или иным успехом — и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: T {\displaystyle T} (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это τ {\displaystyle \tau } , иногда Θ {\displaystyle \Theta } и т. д.).

Единицы измерения: секунда и, в принципе, вообще единицы измерения времени.

Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:

T = 1 ν , ν = 1 T . {\displaystyle T={\frac {1}{\nu }},\ \ \ \nu ={\frac {1}{T}}.}

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны λ {\displaystyle \lambda }

v = λ ν , T = λ v , {\displaystyle v=\lambda \nu ,\ \ \ T={\frac {\lambda }{v}},}

где v {\displaystyle v}  — скорость распространения волны (точнее[2] — фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта — например, частицы — есть частота[3] колебаний его волновой функции).

Теоретическое нахождение периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно — через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решетки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Периоды колебаний в природе

Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот элетромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне

от 5·10−5с до 0,2с

(четкие границы его несколько условны).

Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света — в диапазоне

от 1,1·10−15с до 2,3·10−15с.

Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней — период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц ().

В любом случае границей снизу может служить планковское время, которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено[4], но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху — время существования Вселенной — более десяти миллиардов лет.

Периоды колебаний простейших физических систем

Пружинный маятник

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T = 2 π m k {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}} ,

где m {\displaystyle m}  — масса груза, k {\displaystyle k}  — жёсткость пружины.

Математический маятник

Период малых колебаний математического маятника:

T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}

где l {\displaystyle l}  — длина подвеса (к примеру, нити), g {\displaystyle g}  — ускорение свободного падения.

Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью[5] равен 2 секундам.

Физический маятник

Период малых колебаний физического маятника:

T = 2 π J m g l {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgl}}}}

где J {\displaystyle J}  — момент инерции маятника относительно оси вращения, m {\displaystyle m}  — масса маятника, l {\displaystyle l}  — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник

Период колебаний крутильного маятника:

T = 2 π I K {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{K}}}}

где I {\displaystyle I}  — момент инерции маятника относительно оси кручения, а K {\displaystyle K}  — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур

Период колебаний электрического колебательного контура (формула Томсона):

T = 2 π L C {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {LC}}} ,

где L {\displaystyle L}  — индуктивность катушки, C {\displaystyle C}  — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик У. Томсон.

ru.wikipedia.org

Период колебаний: опыты, формулы, задачи

Что такое период колебаний? Что это за величина, какой физический смысл она имеет и как ее рассчитать? В этой статье мы разберемся с этими вопросами, рассмотрим различные формулы, по которым можно рассчитать период колебаний, а также выясним, какая связь имеется между такими физическими величинами, как период и частота колебаний тела/системы.

Определение и физический смысл

период свободных колебаний формула

Периодом колебаний называется такой промежуток времени, при котором тело или система совершают одно колебание (обязательно полное). Параллельно можно отметить параметр, при выполнении которого колебание может считаться полным. В роли такого условия выступает возвращение тела в его первоначальное состояние (к первоначальной координате). Очень хорошо проводится аналогия с периодом функции. Ошибочно, кстати, думать, что она имеет место исключительно в обыкновенной и высшей математике. Как известно, эти две науки неразрывно связаны. И с периодом функций можно столкнуться не только при решении тригонометрических уравнений, но и в различных разделах физики, а именно речь идет о механике, оптике и прочих. При переносе периода колебаний из математики в физику под ним нужно понимать просто физическую величину (а не функцию), которая имеет прямую зависимость от проходящего времени.

Какие бывают колебания?

Колебания подразделяются на гармонические и ангармонические, а также на периодические и непериодические. Логично было бы предположить, что в случае гармонических колебаний они совершаются согласно некоторой гармонической функции. Это может быть как синус, так и косинус. При этом в деле могут оказаться и коэффициенты сжатия-растяжения и увеличения-уменьшения. Также колебания бывают затухающими. То есть, когда на систему действует определенная сила, которая постепенно “тормозит” сами колебания. При этом период становится меньше, в то время как частота колебаний неизменно увеличивается. Очень хорошо демонстрирует такую вот физическую аксиому простейший опыт с использованием маятника. Он может быть пружинного вида, а также математического. Это неважно. Кстати, период колебаний в таких системах будет определяться разными формулами. Но об этом чуточку позже. Сейчас же приведем примеры.

Опыт с маятниками

Взять первым можно любой маятник, разницы никакой не будет. Законы физики на то и законы физики, что они соблюдаются в любом случае. Но почему-то больше по душе математический маятник. Если кто-то не знает, что он собой представляет: это шарик на нерастяжимой нити, который крепится к горизонтальной планке, прикрепленной к ножкам (или элементам, которые играют их роль – держать систему в равновесном состоянии). Шарик лучше всего брать из металла, чтобы опыт был нагляднее.

период колебаний

Итак, если вывести такую систему из равновесия, приложить к шару какую-то силу (проще говоря, толкнуть его), то шарик начнет раскачиваться на нити, следуя определенной траектории. Со временем можно заметить, что траектория, по которой проходит шар, сокращается. В то же время шарик начинает все быстрее сновать туда-сюда. Это говорит о том, что частота колебаний увеличивается. А вот время, за которое шарик возвращается в начальное положение, уменьшается. А ведь время одного полного колебания, как мы выяснили ранее, и называется периодом. Если одна величина уменьшается, а другая увеличивается, то говорят об обратной пропорциональности. Вот мы и добрались до первого момента, на основании которого строятся формулы для определения периода колебаний. Если же мы возьмем для проведения пружинный маятник, то там закон будет наблюдаться немного в другом виде. Для того чтобы он был наиболее наглядно представлен, приведем систему в движение в вертикальной плоскости. Чтобы было понятнее, сначала стоило сказать, что собой представляет пружинный маятник. Из названия понятно, что в его конструкции должна присутствовать пружина. И это действительно так. Опять же таки, у нас есть горизонтальная плоскость на опорах, к которой подвешивается пружина определенной длины и жесткости. К ней, в свою очередь, подвешивается грузик. Это может быть цилиндр, куб или другая фигурка. Это может быть даже какой-то сторонний предмет. В любом случае, при выведении системы из положения равновесия, она начнет совершать затухающие колебания. Наиболее четко просматривается увеличение частоты именно в вертикальной плоскости, без всякого отклонения. На этом с опытами можно закончить.

период и частота колебаний

Итак, в их ходе мы выяснили, что период и частота колебаний это две физические величины, которые имеют обратную зависимость.

Обозначение величин и размерности

Обычно период колебаний обозначается латинской буквой T. Гораздо реже он может обозначаться по-другому. Частота же обозначается буквой µ (“Мю”). Как мы говорили в самом начале, период это не что иное, как время, за которое в системе происходит полное колебание. Тогда размерностью периода будет секунда. А так как период и частота обратно пропорциональны, то размерностью частоты будет единица, деленная на секунду. В записи задач все будет выглядеть таким образом: T (с), µ (1/с).

Формула для математического маятника. Задача №1

Как и в случае с опытами, я решил первым делом разобраться с маятником математическим. Подробно вдаваться в вывод формулы мы не будем, поскольку такая задача поставлена изначально не была. Да и вывод сам по себе громоздкий. Но вот с самими формулами ознакомимся, выясним, что за величины в них входят. Итак, формула периода колебаний для математического маятника имеет следующий вид:

период свободных колебаний формула

Где l – длина нити, п = 3,14, а g – ускорение свободного падения (9,8 м/с^2). Никаких затруднений формула вызывать не должна. Поэтому без дополнительных вопросов перейдем сразу к решению задачи на определение периода колебания математического маятника. Металлический шар массой 10 грамм подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 сантиметров. Рассчитайте период колебания системы, приняв ее за математический маятник. Решение очень простое. Как и во всех задачах по физике, необходимо максимально упростить ее за счет отброса ненужных слов. Они включаются в контекст для того чтобы запутать решающего, но на самом деле никакого веса абсолютно не имеют. В большинстве случаев, разумеется. Здесь можно исключить момент с “нерастяжимой нитью”. Это словосочетание не должно вводить в ступор. А так как маятник у нас математический, масса груза нас интересовать не должна. То есть слова о 10 граммах тоже просто призваны запутать ученика. Но мы ведь знаем, что в формуле масса отсутствует, поэтому со спокойной совестью можем приступать к решению. Итак, берем формулу и просто подставляем в нее величины, поскольку определить необходимо период системы. Поскольку дополнительных условий не было задано, округлять значения будем до 3-его знака после запятой, как и принято. Перемножив и поделив величины, получим, что период колебаний равен 0,886 секунд. Задача решена.

Формула для пружинного маятника. Задача №2

Формулы маятников имеют общую часть, а именно 2п. Эта величина присутствует сразу в двух формулах, но разнятся они подкоренным выражением. Если в задаче, касающейся периода пружинного маятника, указана масса груза, то избежать вычислений с ее применение невозможно, как это было в случае с математическим маятником. Но пугаться не стоит. Вот так выглядит формула периода для пружинного маятника:

период колебаний

В ней m – масса подвешенного к пружине груза, k – коэффициент жесткости пружины. В задаче значение коэффициента может быть приведено. Но если в формуле математического маятника особо не разгуляешься – все-таки 2 величины из 4 являются константами – то тут добавляется 3 параметр, который может изменяться. И на выходе мы имеем 3 переменных: период (частота) колебаний, коэффициент жесткости пружины, масса подвешенного груза. Задача может быть сориентирована на нахождение любого из этих параметров. Вновь искать период было бы слишком легко, поэтому мы немного изменим условие. Найдите коэффициент жесткости пружины, если время полного колебания составляет 4 секунды, а масса груза пружинного маятника равна 200 граммам.

Для решения любой физической задачи хорошо бы сначала сделать рисунок и написать формулы. Они здесь – половина дела. Записав формулу, необходимо выразить коэффициент жесткости. Он у нас находится под корнем, поэтому обе части уравнения возведем в квадрат. Чтобы избавиться от дроби, умножим части на k. Теперь оставим в левой части уравнения только коэффициент, то есть разделим части на T^2. В принципе, задачку можно было бы еще немного усложнить, задав не период в числах, а частоту. В любом случае, при подсчетах и округлениях (мы условились округлять до 3-его знака после запятой), получится, что k = 0, 157 Н/м.

Период свободных колебаний. Формула периода свободных колебаний

период и частота колебаний

Под формулой периода свободных колебаний понимают те формулы, которые мы разобрали в двух ранее приведенных задачах. Составляют также уравнение свободных колебаний, но там речь идет уже о смещениях и координатах, а этот вопрос относится уже к другой статье.

Советы для решения задач, связанных с периодом

1) Прежде чем браться за задачу, запишите формулу, которая с ней связана.

2) Простейшие задачи не требуют рисунков, но в исключительных случаях их нужно будет сделать.

3) Старайтесь избавляться от корней и знаменателей, если это возможно. Записанное в строчку уравнение, не имеющее знаменателя, решать гораздо удобнее и проще.

syl.ru

период это:

период ПЕРИ́ОД -а; м. [греч. periodos - обход, круговращение] 1. Промежуток времени в развитии чего-л., охватывающий какой-л. законченный процесс. Зимний п. Инкубационный п. Переходный п. П. цветения. Послевоенный п. П. болезни. 2. Этап общественного развития, общественного движения. П. коллективизации, индустриализации. П. нэпа. Петровский п. русской истории. 3. Спец. Промежуток времени, в течение которого образовались горные породы, в совокупности составляющие геологическую систему; делится на эпохи. Каменноугольный п. палеозойской эры. Третичный п. 4. Спец. Время между началом реакции и моментом достижения ею скорости, доступной экспериментальному наблюдению. П. полураспада (промежуток времени, за который число радиоактивных атомов радиоактивного нуклида уменьшается вдвое). 5. Спец. Промежуток времени, в течение которого заканчивается какой-л. повторяющийся процесс. П. колебания. П. волны. П. обращения луны. 6. Матем. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби. П. функции (величина, при прибавлении которой к аргументу некоторой функции, значение функции не меняется). П. дроби (повторяющаяся определённая группа цифр). 7. Грамм. Сложное синтаксическое целое, состоящее из одного сложного предложения или из соединения нескольких, характеризующихся грамматической, лексической, интонационной связанностью. 8. Муз. Небольшое законченное построение, образованное соединением двух предложений (8 или 16 тактов), излагающих тему музыкального произведения. Периоди́ческий; Периоди́чный (см.). * * * период
I
(от греч. períodos — обход, круговращение, определённый круг времени), 1) промежуток времени, охватывающий какой-либо законченный процесс. 2) Этап общественного развития, общественного движения.
II
в поэтике (особенно в риторике), развёрнутое сложноподчинённое предложение с чёткой интонацией и членением на колоны (пример — всё стихотворение «Когда волнуется желтеющая нива» М. Ю. Лермонтова).
III
(муз.), см. Музыкальная форма.
IV
(геол.), крупный интервал геологического времени, в течение которого образовались горные породы, составляющие геологическую систему. Периоды разделяются на геологические эпохи. * * * ПЕРИОД ПЕРИ́ОД (от греч. periodos — обход, круговращение, определенный круг времени),
1) промежуток времени, охватывающий какой-либо законченный процесс.
2) Этап общественного развития, общественного движения.

Энциклопедический словарь. 2009.

dic.academic.ru

/ Определение периода полураспада долгоживущего изотопа

15

Определение периода полураспада радиоактивного долгоживущего изотопа калия

Цель работы: Изучение явления радиоактивности. Определение периода полураспада Т1/2 ядер радиоактивного изотопа К-40 (калий-40).

Оборудование:

- измерительная установка;

- мерный образец, содержащий известную массу хлористого калия (KCl);

- эталонный препарат (мера активности) с известной активностью К-40.

Теоретическая часть

В настоящее время известно большое количество изотопов всех химических элементов, ядра которых могут самопроизвольно превращаться друг в друга. В процессе превращений ядро испускает один или несколько видов так называемых ионизирующих частиц - альфа-(α), бета-(β) и других, а также гамма-квантов (γ). Такое явление называется радиоактивным распадом ядра.

Радиоактивный распад носит вероятностный характер и зависит только от характеристик распадающегося и образующегося ядер. Внешние факторы (нагревание, давление, влажность и др.) на скорость радиоактивного распада воздействия не оказывают. Радиоактивность изотопов практически не зависит также от того, находятся они в чистом виде или входят в состав каких-либо химических соединений. Радиоактивный распад является процессом стохастическим. Каждое ядро распадается независимо от других ядер. Нельзя сказать, когда конкретно распадется данное радиоактивное ядро, но для отдельного ядра можно указать вероятность его распада за определенное время.

Самопроизвольный распад радиоактивных ядер происходит в соответствии с законом кинетики радиоактивного распада, согласно которому число ядер dN(t), распадающихся за бесконечно малый промежуток времени dt, пропорционально числу нестабильных ядер, имеющихся в момент времени t в данном источнике излучения (мерном образце):

. (1)

В формуле (1) коэффициент пропорциональности λ называется постоянной распада ядра. Ее физический смысл – вероятность распада отдельно взятого нестабильного ядра в единицу времени. Другими словами - для источника излучения, содержащего в рассматриваемый момент большое количество нестабильных ядер N(t), постоянная распада показывает долюядер, распадающихся в данном источнике за малый промежуток времени dt. Постоянная распада – размерная величина. Ее размерность в системе СИ – с-1.

Величина А(t) в формуле (1) сама по себе имеет важное значение. Она является основной количественной характеристикой данного образца как источника излучения и называется его активностью. Физический смысл активности источника – количество нестабильных ядер, распадающихся в данном источнике излучения в единицу времени. Единица измерения активности в системе СИ – Беккерель(Бк) – соответствует распаду одного ядра в секунду. В специализированной литературе встречается внесистемная единица измерения активности – Кюри (Ки). 1 Ки ≈ 3.7·1010 Бк.

Выражение (1) – это запись закона кинетики радиоактивного распада в дифференциальной форме. На практике иногда удобнее применять другой (интегральный) вид закона радиоактивного распада. Решая дифференциальное уравнение (1), получим:

, (2)

где N(0) – количество нестабильных ядер в образце в начальный момент времени (t= 0); N(t) – среднее количество нестабильных ядер в любой момент времени t >0.

Таким образом, число нестабильных ядер в любом источнике излучения уменьшается со временем, в среднем, по экспоненциальному закону. На рисунке 1 представлена кривая изменения среднего числа ядер во времени, происходящего по закону радиоактивного распада. Этот закон может быть применен только к большому числу радиоактивных ядер. При небольшом числе распадающихся ядер наблюдаются значительные статистические колебания около среднего значения N(t).

Рисунок 1. – Кривая распада радионуклида.

Умножив обе части (2) на константу λ и учитывая, что N(t)· λ = A(t), получим закон изменения активности источника излучения с течением времени

. (3)

В качестве интегральной временной характеристики радионуклида часто применяют величину, называемую его периодом полураспада T1/2. Период полураспада - это интервал времени, на протяжении которого число ядер данного радионуклида в источнике уменьшается, в среднем, в два раза (см. рисунок 1). Из выражения (2) находим:

,

откуда получаем соотношение между периодом полураспада радионуклида T1/2 и его постоянной распада

. (4)

Подставив в формулу (4) значение λ, выраженное и формулы (1) получаем выражение, связывающее период полураспада с активностью мерного образца A и количеством нестабильных ядер NК-40 радионуклида , входящего в состав этого образца

. (5)

Выражение (5) является основной рабочей формулой данного задания. Из нее следует, что, посчитав количество ядер радионуклида в рабочем мерном образце и определив активность К-40 в образце, можно будет найти период полураспада долгоживущего радионуклида К-40, выполнив тем самым задание лабораторной работы.

Отметим важный момент. Учтем, что по условиям задания заранее известно, что период полураспада T1/2 радионуклида намного больше времени наблюденияΔT за мерным образцом в рамках данной лабораторной работы T/T1/2. Следовательно, при выполнении данного задания, можно не учитывать изменение активности образца и количества ядер К-40 в образце за счет радиоактивного распада и считать их постоянными величинами:

Определение количества ядер К-40 в мерном образце.

Известно, что природный химический элемент калий состоит из трех изотопов – К-39, К-40 и К-41. Один из этих изотопов, а именно радионуклид , массовая доля которого в природном калии составляет 0,0119 %(относительнаяраспространенность η =0,000119), является нестабильным.

Число атомов NК-40 (соответственно, и ядер) радионуклида в мерной пробе определяется следующим образом.

Полное число NK атомов природного калия в мерной пробе, содержащей m граммов (указывается преподавателем) хлористого калия, находится из соотношения

,

где МKCl= 74,5 г/моль – молярная масса KCl;

NA= 6,02·1023моль-1 - постоянная Авогадро.

Следовательно, с учетом относительной распространенности, число атомов (ядер) радионуклида в мерной пробе будет определяться соотношением

. (6)

Определение активности радионуклида в мерном образце.

Известно, что ядра радионуклида К-40 могут испытывать два вида ядерных превращений:

- с вероятностью νβ = 0,89 ядро К-40 превращается в ядро Ca-40, испуская при этом -частицу и антинейтрино (бета-распад):

.

- с вероятностью νγ=0,11 ядро захватывает электрон с ближайшей К-оболочки, превращаясь в ядро Ar-40 и испуская при этом нейтрино (электронный захват или К-захват):

.

Рожденное ядро аргона находится в возбужденном состоянии и практически мгновенно переходит в основное состояние, испуская при этом переходе γ – квант с энергией 1461 кэВ:

.

Вероятности выхода νβ и νγ называются относительным выходом β-частиц и γ – квантов на один распад ядра, соответственно. На рисунке 2 приведена схема распада К-40, иллюстрирующая вышеизложенное.

Рисунок 2. – Схема распада радионуклида К-40.

Возникающие при радиоактивном распаде ядер ионизирующие частицы могут быть зарегистрированы специальной аппаратурой. В настоящей работе применяется измерительная установка, регистрирующая β-частицы, сопровождающие распад ядер радионуклида К-40, входящих в состав мерного образца.

Блок-схема измерительной установки приведена на рисунке 3.

Рисунок 3. – Блок-схема измерительной установки.

1 – кювета с мерным образцом KCl;

2 – счетчик Гейгера-Мюллера;

3 – высоковольтный блок;

4 – формирователь импульсов;

5 – счетчик импульсов;

6 – таймер.

Рассмотрим процесс регистрации бета-частиц, образующихся в мерном образце (источнике излучения), измерительной установкой.

- неизвестную активность радионуклида К-40 в мерном образце обозначим Ax. Это означает, что каждую секунду в образце распадается, в среднем, Ax ядер радионуклида К-40;

- регистрация излучения проводится в течение некоторого времени работы установкиtизм. Очевидно, что за это время в образце распадутся, в среднем, Ax·tизм ядер;

- с учетом относительного выхода бета-частиц на один распад ядра, количество бета-частиц, рожденных в образце за время работы установки, будет равно Ax·tизм·νβ;

- поскольку источник имеет конечные размеры, часть бета-частиц поглотится материалом самого источника. Вероятность Q поглощения бета-частицы, рожденной в источнике, материалом самого источника называют коэффициентом самопоглощения излучения. Отсюда следует, что из источника за все время измерения во всех направлениях (в телесный угол 4π) вылетит, в среднем, Ax·tизм·νβ·(1-Q) бета-частиц;

- через детектор (счетчик Гейгера – Мюллера) пролетает только малая доля G всех вышедших из источника бета-частиц, зависящая от размеров и взаимного расположения образца и детектора. Остальные частицы пролетят мимо детектора. Поправка G называется геометрическим фактором системы «детектор – образец». Следовательно, полное количество бета-частиц, попавших за время работы установки из образца в рабочий объем детектора будет равно Ax·tизм·νβ·(1-QG;

- вследствие особенности работы детекторов ионизирующего излучения любых типов (в том числе и детекторов Гейгера-Мюллера), лишь некоторая доляε (называемая эффективностью регистрации детектора) частиц, пролетевших через детектор, инициирует электрический импульс на его выходе. Остальные частицы детектор «не замечает». Данные электрические импульсы обрабатываются электронной схемой измерительной установки и регистрируются ее счетным устройством. Таким образом, за время работы установки счетное устройство зарегистрирует «полезных» событий (импульсов), обусловленных распадом ядер К-40 в мерной пробе;

- одновременно с бета-частицами из мерного образца -- измерительная установка зарегистрирует и определенное количество -- так называемых фоновых частиц, обусловленных естественной радиоактивностью окружающих строительных конструкций, конструкционных материалов, космического излучения и т.д.

Таким образом, полное количество событий nX, зарегистрированных пересчетным устройством измерительной установки при измерении мерного образца с неизвестной активностью АХв течение времени tизм, можно представить в виде

. (7)

Точный учет поправок Q, G и ε, входящих в формулу (7), в общем случае весьма сложен. Поэтому на практике часто пользуются относительным методом измерения активности. Реализация такого метода возможна при наличии эталонного источника радиоактивного излучения (образцовой меры активности) с известной активностью АЭ, имеющего такую же форму и размеры, содержащего тот же радионуклид, что и исследуемый образец. В этом случае все поправочные коэффициенты - νβ, Q, G, ε - будут одинаковы для исследуемого и эталонного препаратов.

Для образцовой меры активности можно записать выражение, аналогичное выражению (7) для исследуемого образца

. (8)

Если выбрать время измерения исследуемого и эталонного образцов одинаковым, то, выразив произведение из формулы (8) и подставив это выражение в формулу (7), получим выражение для практического определения активности исследуемого образца АХ

, Бк , (9)

где АЭ – активность образцовой меры, Бк;

nX – количество событий, зарегистрированных при измерении исследуемого образца;

nЭ – количество событий, зарегистрированных при измерении образцовой меры;

nФ – количество событий, зарегистрированных при измерении фона.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Включите установку, установите время измерения (не менее 3 мин) и дайте ей «прогреться» в течение 15 -20 минут.

2. Проведите измерение фона не менее 5 раз. Результаты каждого (i – го) измерения - - занесите в рабочую таблицу 1.

3. Получите у преподавателя мерный образец. Уточните у преподавателя количество хлористого калия в мерном образце. По формуле (6) рассчитайте количество ядер радионуклида К-40 в мерном образце.

4. Установите мерный образец под рабочее окно детектора и проведите измерение образца не менее 5 раз. Результаты каждого измерения - -занесите в рабочую таблицу.

5. Получите у преподавателя образцовую меру, уточните значение в ней активности радионуклида К-40.

6. Установите образцовую меру под рабочее окно детектора и проведите ее измерение не менее 5 раз. Результаты каждого измерения -- занесите в рабочую таблицу 1.

7. По формуле (9) для каждой i-й строки рассчитайте величину активности мерной пробы. Результаты расчетов - - занесите в рабочую таблицу 1.

8. По формуле (5) для каждой i-й строки рабочей таблицы рассчитайте значение периода полураспада - - радионуклида К-40.

9. Определите среднеарифметическое значение периода полураспада

и оценку среднеквадратического отклонения

,

где L — размер выборки (число измерений, например, L = 5).

Полученное в результате выполнения лабораторной работы значение периода полураспада радионуклида К-40 записать в виде:

, лет,

где tp,L-1 – соответствующий коэффициент Стьюдента (см. таблицу 2), а

- среднеквадратичная погрешность среднеарифметического.

10. Используя полученное значение периода полураспада оцените значения величин постоянной распадаλ и среднего времени жизни ядра τ = 1/λ радионуклида .

11. Сравните полученные результаты со справочными значениями.

Таблица 1. Рабочая таблица результатов.

№ п.п.

1.

…..

L

Таблица 2. Значения коэффициента Стьюдента для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы (L-1):

L-1

P

0.80

0.90

0.95

0.98

0.99

0.995

0.998

0.999

1

3.0770

6.3130

12.7060

31.820

63.656

127.656

318.306

636.619

2

1.8850

2.9200

4.3020

6.964

9.924

14.089

22.327

31.599

3

1.6377

2.35340

3.182

4.540

5.840

7.458

10.214

12.924

4

1.5332

2.13180

2.776

3.746

4.604

5.597

7.173

8.610

5

1.4759

2.01500

2.570

3.649

4.0321

4.773

5.893

6.863

6

1.4390

1.943

2.4460

3.1420

3.7070

4.316

5.2070

5.958

7

1.4149

1.8946

2.3646

2.998

3.4995

4.2293

4.785

5.4079

8

1.3968

1.8596

2.3060

2.8965

3.3554

3.832

4.5008

5.0413

9

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

3.6897

4.2968

4.780

Контрольные вопросы

1. Что такое изотопы химического элемента?

2. Запишите закон радиоактивного распада в дифференциальной и интегральной формах.

3. Что такое активность радионуклидного источника ионизирующего излучения? Какие имеются единицы измерения активности?

4. По какому закону активность источника изменяется с течением времени?

5. Что такое постоянная распада, период полураспада и среднее время жизни ядра радионуклида? Единицы их измерения. Запишите выражения, связывающие эти величины.

6. Определите периоды полураспада радионуклидов Rn-222 и Ra-226, если их постоянные распада, соответственно, равны 2,110-6 с-1 и 1,3510-11 с-1.

7. При измерении образца, содержащего короткоживущий радионуклид, в течение 1 мин было зарегистрировано 250 импульсов, а спустя 1 час после начала первого измерения 90 импульсов за 1 мин. Определите постоянную распада и период полураспада радионуклида, если фоном измерительной установки можно пренебречь.

8. Объясните схему распада радионуклида К-40. Что такое относительный выход ионизирующих частиц?

9. Объясните физический смысл понятий: эффективность регистрации ядерных частиц детектором; геометрический фактор измерительной установки; коэффициент самопоглощения излучения.

10. Изложите суть относительного метода определения активности источника ионизирующего излучения.

11. Каково значение периода полураспада радионуклида, если за 5 часов активность его препарата уменьшилась в 16 раз?

12. Можно ли определить активность образца, содержащего К-40, измеряя интенсивность только гамма-излучения?

13. Какой вид имеет энергетический спектр β+ - излучения и β- - излучения?

14. Можно ли определить активность образца, измеряя интенсивность его нейтринного (антинейтринного) излучения?

15. Какой характер имеет энергетический спектр гамма-излучения К-40?

16. От каких факторов зависит среднеквадратическая погрешность определения периода полураспада К-40 в данной работе?

Пример решения задачи

Условие. Определите значение постоянной радиоактивного распада λ и период полураспада Т1/2 радионуклида 239Pu, если в препарате 239Pu3O8 массой m = 3,16 микрограмма за время t = 100 с происходит Q = 6,78·105 распадов ядер.

Решение.

  1. Активность препарата A = Q/t = 6,78·105/100 = 6,78·103, расп/с (Бк).

  2. Масса 239Pu в препарате

г,

где Aмоль – соответствующие молярные массы.

  1. Число ядер Pu-239 в препарате

ядер,

где NA – число Авогадро.

  1. Постоянная распада λ = A/N239= 6,78·103/6,75·1015= 1,005·10-12, с-1.

  2. Период полураспада

T1/2= ln2/λ = 6,91·1011c.

Рекомедуемая литература.

1. Абрамов, Александр Иванович. Основы экспериментальных методов ядерной физики : учебное пособие для студ. вузов / А.И. Абрамов, Ю.А, Казанский, Е.С. Матусевич .— 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Энергоатомиздат, 1985 .— 487 с.

2. Алиев, Рамиз Автандилович. Радиоактивность : [учебное пособие для студ. вузов, обуч. по направлению ВПО 020100 (магистр химии) и специальности ВПО 020201 - "Фундамент. и приклад. химия"] / Р.А. Алиев, С.Н. Калмыков .— Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2013 .— 301 с.

3. Мухин, Константин Никтфорович. Экспериментальная ядерная физика : учебник : [в 3 т.] / К.Н. Мухин .— Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2009.

4. Коробков, Виктор Иванович. Методы приготовления препаратов и обработка результатов измерений радиоактивности / В.И. Коробков, В.Б. Лукьянов .— М. : Атомиздат, 1973 .— 216 с.

StudFiles.ru

Периодическая функция

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T = 2 π {\displaystyle T=2\pi } .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T ≠ 0 {\displaystyle T\neq 0} , если для каждой точки x {\displaystyle x} из её области определения точки x + T {\displaystyle x+T} и x − T {\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f ( x ) = f ( x + T ) = f ( x − T ) {\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)} .

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f ( x ) = f ( x + n T ) {\displaystyle f(x)=f(x+nT)} , где n {\displaystyle n}  — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть M {\displaystyle M} есть абелева группа (обычно предполагается M = ( R , + ) {\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}  — вещественные числа с операцией сложения или ( C , + ) {\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}  — комплексные числа). Функция f : M → N {\displaystyle f:M\to N} (где N {\displaystyle N}  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T ≠ 0 {\displaystyle T\not =0} , если справедливо

f ( x + T ) = f ( x ) , ∀ x ∈ M {\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M} .

Если это равенство не выполнено ни для какого T ∈ M , T ≠ 0 {\displaystyle T\in M,\,T\not =0} , то функция f {\displaystyle f} называется апериоди́ческой.

Если для функции f : C → N {\displaystyle f:\mathbb {C} \to N} существуют два периода T 1 , T 2 ≠ 0 {\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0} , отношение которых не равно вещественному числу, то есть T 1 T 2 ∉ R {\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} } , то f {\displaystyle f} называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f {\displaystyle f} на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T 1 , T 2 {\displaystyle T_{1},T_{2}} .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T {\displaystyle T}  — период, то и любой элемент T ′ {\displaystyle T'} вида T ′ = T + ⋯ + T ⏟ n {\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}} (или T ′ = n T {\displaystyle T'=nT} , если в области определения функции определена операция умножения), где n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов { T , T > 0 , T ∈ R } {\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2 π {\displaystyle 2\pi } , так как
sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ x , cos ⁡ ( x + 2 π ) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  • Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом π {\displaystyle \pi } .
  • Функция, равная константе f ( x ) = c o n s t {\displaystyle f(x)=\mathrm {const} } , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f ( x ) = x 2 , x ∈ R {\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} } является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному T 1 {\displaystyle T_{1}} и T 2 {\displaystyle T_{2}} (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции f ( x ) = sin ⁡ ( 2 x ) − sin ⁡ ( 3 x ) {\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)} основной период равен 2 π {\displaystyle 2\pi } , у функции g ( x ) = sin ⁡ ( 3 x ) {\displaystyle g(x)=\sin(3x)} период равен 2 π / 3 {\displaystyle 2\pi /3} , а у их суммы f ( x ) + g ( x ) = sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)} основной период, очевидно, равен π {\displaystyle \pi } .
  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

Ссылки

  • Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)

ru.wikipedia.org

Определение длительности прогнозного периода

Длительность прогнозного периода определяется с учетом планов руководства по развитию (ликвидации) предприятия в ближайшие годы, динамики стоимостных показателей (выручки, себестоимости, прибыли, цен), тенденций изменения спроса, объемов производства и продаж.

Из-за сложности прогнозирования при оценке российских предприятий прогнозный период обычно устанавливается равным трем годам.

Прогноз доходов требует анализа динамики рынка, влияния конкуренции и инфляции, факторов ценообразования, ожидаемого роста объемов производства и реализации, производственных мощностей, отраслевых факторов.

Определение продолжительности прогнозного периода, в пределах которого осуществляются расчеты, проводится с учетом следующих факторов:

— планы руководства по развитию (ликвидации) предприятия в ближайшие годы;

— динамика стоимостных показателей (выручки, себестоимости, прибыли, цен);

— тенденции изменения спроса, объемов производства и продаж.

В качестве периода прогнозирования может быть выбран:

— период, по достижении которого темпы роста дохода предприятия стабилизируются;

— период существования компании с учетом планов руководства (может быть связан с окончанием договора аренды на имущество компании);

— продолжительность создания, эксплуатации и, если необходимо, ликвидации объекта;

— период достижения заданных характеристик доходности, требований и предпочтений инвестора;

— срок реализации инвестиционного проекта по внедрению новой продукции.

Если нет объективных причин для прекращения существования предприятия, то предполагается, что оно может существовать неопределенно долго. Точнее спрогнозировать доходы на несколько десятков и более лет не представляется возможным, поэтому срок дальнейшего существования предприятия делится на две части:

1) прогнозный период, когда оценщик достаточно точно прогнозирует динамику денежных потоков;

2) постпрогнозный период, когда учитывается усредненный темп роста денежных потоков предприятия на весь оставшийся срок его жизни.

Если в первые годы прогнозного периода динамика доходов будет сильно отличаться от средней величины, то стоимость предприятия может быть сильно искажена.

Расчет величины денежного потока для каждого года прогнозного периода

Для расчета величины денежного потока для каждого года прогнозного периода существуют два основных метода:

1) косвенный метод;

2) прямой метод.

Косвенный метод допускает анализ движения денежных средств по направлениям деятельности. Он наглядно демонстрирует использование прибыли и инвестирование имеющихся денежных средств.

Прямой метод основан на анализе движения денежных средств по статьям прихода и расхода, т.е. по бухгалтерским счетам.

При оценке инфляционные ожидания учитываются в случае, когда темп роста инфляции для издержек значительно отличается от темпа роста цен на производимую продукцию. В случае использования «инфляционного» денежного потока, инфляционная составляющая должна присутствовать и в ставке дисконтирования. Однако инфляционные ожидания довольно сложно прогнозировать.

Более просты и чаще используются в оценке расчеты без учета инфляции.

Для корректного расчета величин денежных потоков необходим анализ расходов, инвестиций и выручки от реализации.

При прогнозе валовой выручки учитываются:

— номенклатура продукции;

— объем производства и цены на продукцию;

— ретроспективные темпы роста выручки;

— спрос на продукцию;

— производственные мощности;

— экономическая ситуация в стране, в отрасли;

— конкуренция, доля предприятия на рынке;

— планы руководства предприятия. ,

При прогнозировании расходов и инвестиций (потребности в инвестициях, источниках финансирования, инвестиционной политики) оценщик должен сделать следующее:

— учесть ретроспективные взаимозависимости и тенденции (иногда исторические тенденции могут оказаться неточными);

— изучить структуру расходов, в особенности соотношение постоянных и переменных издержек;

— изучить единовременные и чрезвычайные статьи расходов, которые могут фигурировать в финансовой отчетности за прошлые годы, но в будущем не встретятся;

— оценить инфляционные ожидания для каждой категории издержек;

— рассчитать затраты на выплату процентов по кредитам на основе прогнозируемых уровней задолженности;

— сравнить прогнозируемые расходы с соответствующими показателями для предприятий-конкурентов или с аналогичными среднеотраслевыми показателями;

— спрогнозировать и обосновать необходимость инвестиций, направляемых на замену изношенного оборудования, приобретение нового для расширения объемов производства и т.п.;

— определить амортизационные отчисления исходя из нынешнего наличия активов и из будущего их прироста и выбытия;

— проанализировать источники финансирования инвестиций (получение кредитов, выпуск акций и т.п.).

Планы руководства по развитию предприятия в ближайшие годы и динамику стоимостных (выручка, себестоимость, прибыль, цена продукции) и натуральных (объемы производства, продаж) показателей работы предприятия за два-четыре года, предшествующих дате оценки, оценщик сопоставляет с отраслевыми тенденциями и определяет реалистичность планов руководства, а также стадию жизненного цикла предприятия.

studopedia.ru

Читайте также