Определение устойчивости

1. Понятие устойчивости сар

  1. Определение понятия устойчивости

Как было сказано ранее, устойчивость – одна из важнейших характеристик САР. Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости.

Нам известно множество бытовых примеров устойчивости. Например, табурет с двумя ножками неустойчив, он упадет при малейшем внешнем воздействии, а с тремя – устойчив. Всем знакомый пример неустойчивой системы – близко стоящие микрофон и колонки, которые при этом начинают «свистеть». Неустойчивость может привести к трагическим последствиям, например, аварии самолетов, попавших в грозовой фронт или в штопор, взрыв ядерного реактора на Чернобыльской атомной станции в 1986 г.

В ходе работы были проанализированы определения понятия устойчивости САР, приведенные в литературных источниках. Далее приводятся определения понятия устойчивости, взятые из различных энциклопедий.

Википедия дает такое определение: «усто́йчивость– способность системы сохранять текущее состояние при влиянии внешних воздействий».1

Большая Советская энциклопедия так определяет это понятие: «Усто́йчивость системы автоматического управления– способность системы автоматического управления (САУ) нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям)». Состояние САУ является устойчивым, если отклонение системы от этого состояния остаётся малым при любых малых изменениях сигналов на входе. Устойчивость САУ разного вида определяется разными способами. Теория устойчивости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А.М. Ляпуновым в 1892.2

В политехническом терминологическом толковом словаре дано определение понятия устойчивости электрической системы. «Устойчивость электрической системы; устойчивость– способность электрической системы восстанавливать исходный установившийся режим или режим, близкий к исходному при различного рода возмущениях». Другими словами, устойчивость – это переход САР от одного устойчивого режима к другому, который также является устойчивым.3

В справочнике по телекоммуникационным технологиям приводится такое толкование:«устойчивость– способность системы возвращаться в исходное состояние после внешних воздействий и продолжать работу без изменения функциональных характеристик».4

Проанализировав приведенные определения понятия устойчивости, можно сформулировать обобщенное определение:

Устойчивость САР– это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения действия возмущения.

Термин «устойчивость» используется в различных отраслях науки и техники, например, в электронике, физике, в численных методах, экономике, экологии, социологии, психологии, медицинских науках. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какое-то внешнее воздействие выведет ее из этого состояния.

Проанализируем понятие «устойчивости» применительно к различным наукам и отраслям деятельности.5

В макроэкономике устойчивость означает долговременное равновесие между использованием ресурсов и развитием человеческого общества.

В метеорологии воздушная устойчивость имеет отношение к вертикальным перемещениям воздушных потоков.

В технике устойчивостью называется свойство технических систем сохранять значения параметров в заданных пределах:

теплогидравлическая устойчивость — свойство систем с обогревом потоков сохранять параметры движения и параметры теплопередачи.

нейтронно-теплогидравлическая устойчивость ядерных реакторов — свойство ядерных реакторов сохранять стабильность процессов тепловыделения и теплосъема в активной зоне.

В социологии также существует термин социальная устойчивость.

На судах устойчивость (профессиональный термин — остойчивость) связана с восстанавливающим моментом и противодействием опрокидыванию.

В механике устойчивость является ответом на малое возмущение системы, находящейся в механическом равновесии.

Различают асимптотическую устойчивость, устойчивость по Ляпунову, экспоненциальную устойчивость, асимптотическую устойчивость в целом и др.

Гидродинамическая устойчивость — свойство потоков сохранять скорость и направление движения.

В теории вероятностей определяют статистическую устойчивость как сходимость частот значений результатов измерения физической величины.

В численном анализе устойчивость показывает, как алгоритм связан с ошибками в вычислениях.

В авиации устойчивость характеризует способность самолета без вмешательства пилота сохранять заданный режим полета.

В теории музыки — устойчивость придает системе звуков постоянство.

В теории автоматического управления устойчивость характеризуется реакцией динамической системы на внешние воздействия.

StudFiles.ru

Определение устойчивости по критерию Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны.По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а1, а2, а3, ... ,аn ), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.

Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а3 вверх записываются а4, а5 (индекс возрастает), а вниз - а2, а1, а0. На остальные оставшиеся места вписываются нули.

Для проверки правильности заполнения определителя Гурвица необхо­димо учесть, что по строкам чередуются коэффициенты с нечётными и чёт­ными индексами. Так первая строка - нечётные а1 а3 а5 а7..., вторая строка - четные а0а2 а4 а6 и т.д.

Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.

Последний определитель обычно не рассчитывается. В данном случае . Если выполняется первое необходимое условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда положителен.

Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а6=0 >0 неравенства принимают вид:

Если необходимо определить устойчивость системы четвертого порядка, то неравенства принимают вид:

Для устойчивости системы третьего порядка достаточно

.

Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.

ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:

.

Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.

2. Составляется определитель Гурвица

Определяют значения миноров согласно неравенствам:

Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.

Критерий устойчивости Рауса

Для устойчивости систем необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Таблица Рауса составляется по правилам:

а) в первой строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а0,а2,а4 ….;

б) во второй строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а1,а3,а5 ….;

в) коэффициенты третьей строки таблицы Рауса вычисляются по формулам:

г) коэффициенты четвертой строки таблицы Рауса определяются по формулам:

д) коэффициенты n-й строки таблицы Рауса вычисляются по формулам

где i – номер столбца; j – номер строки.

ПРИМЕР 2. Определить устойчивость САУ по критерию Рауса по характеристическому уравнению примера 1.

Решение. 1. Вычисляют третью строку таблицы Рауса:

2. Определяют четвертую строку:

3. Вычисляют пятую строку:

4. Определяют шестую строку:

По результатам расчета составляют таблицу Рауса.

Таблица 1

Таблица Рауса

№ строки

R

1 столбец

2 столбец

3 столбец

1

2

3

4

5

6

Ответ: коэффициенты первого столбца положительны. Система устойчивая.

StudFiles.ru

Устойчивость

Логотип Викисловаря В Викисловаре есть статья «устойчивость»

Усто́йчивость — способность системы сохранять текущее состояние при влиянии внешних воздействий. Если текущее состояние при этом не сохраняется, то такое состояние называется неустойчивым.

  • В макроэкономике устойчивость обозначает долгосрочное равновесие между эксплуатацией ресурсов и развитием человеческого общества.
  • В метеорологии воздушная устойчивость относится к вертикальным перемещениям воздушных потоков.
  • В технике устойчивость определяется как свойство технических систем сохранять значения конструктивных и режимных параметров в заданных пределах:
    • теплогидравлическая устойчивость — свойство канальных систем с обогревом потоков сохранять параметры движения и параметры теплопередачи.
    • нейтронно-теплогидравлическая устойчивость ядерных реакторов — свойство ядерных реакторов сохранять стабильность процессов тепловыделения и теплосьема в активной зоне.
  • В механике устойчивость характеризуется ответом на малое возмущение системы, находящейся в механическом равновесии. Различают асимптотическую устойчивость, устойчивость по Ляпунову, экспоненциальную устойчивость, асимптотическую устойчивость в целом и др.
    • Гидродинамическая устойчивость — свойство потоков сохранять скорость и направление движения
  • В социологии также существует термин социальная устойчивость.
  • На судах устойчивость (профессиональный термин — остойчивость) связана с восстанавливающим моментом и противодействием опрокидыванию.
  • В теории автоматического управления устойчивость характеризуется реакцией динамической системы на внешние воздействия.
  • В теории вероятностей определяют статистическую устойчивость как сходимость частот значений результатов измерения физической величины.
  • В численном анализе устойчивость показывает, каким образом алгоритм связан с ошибками в вычислениях (см. численная устойчивость).
  • В авиации устойчивость характеризует способность самолета без вмешательства пилота сохранять заданный режим полета (см. устойчивость и управляемость)
  • В теории музыки — свойство, придающее звуку или системе звуков их постоянство.

ru.wikipedia.org

Устойчивость САУ, общие понятия устойчивости

Устойчивость системы автоматического управления является одной из важнейших характеристик системы, т.к. от нее зависит работоспособность системы. Система, у которой отсутствует устойчивость, не может качественно решать задачу управления. Отсутствие устойчивости также может привести к разрушению самой системы в процессе управления или разрушению объекта управления, поэтому использование неустойчивых систем нецелесообразно .

Устойчивость системы автоматического управления - это свойство системы воз-

вращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему состояния первоначального равновесия.

Примером устойчивых и неустойчивых систем могут служить системы из шарика, расположенного на вогнутой и выпуклой поверхности, представленные на рисунке 60.

Рис.60. Примеры систем: а) устойчивой; б) неустойчивой

На рисунке 60а шарик, расположенный на вогнутой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, после окончания внешнего воздействия возвратится в положение первоначального равновесия. При отсутствии трения о поверхность или его минимальном значении шарик будет совершать непродолжительные колебания около положения равновесия до возвращения в первоначальное положение равновесия (кривая 1— затухающий колебательный процесс). При большом трении шарик возвратится в положение первоначального равновесия без колебаний (кривая 2 — апериодический процесс). При очень большом значении трения шарик может не вернуться в положение первоначального равновесия (кривая 3), но возвратится в область, близкую к положению равновесия. В рассмотренном случае налицо наличие устойчивой системы. В устойчивых САУ возникают подобные переходные процессы (затухающие колебательные и апериодические).

На рисунке 60б шарик, расположенный на выпуклой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, не возвратится в положение первоначального равновесия (кривая 4), поэтому система является неустойчивой. В неустойчивых системах возникают переходные процессы виде расходящихся колебаний (кривая 5) или апериодические (кривая 4).

Неустойчивость САУ, как правило, возникает из-за очень сильного действия обратной связи. Причинами динамической неустойчивости обычно являются значительные инерционные характеристики звеньев замкнутой системы, из-за которых сигнал обратной связи в режиме колебаний так отстает от входного сигнала, что оказывается с ним в фазе. Получается, что характер действия отрицательной обратной связи приобретает характер

положительной.

Составим математическое описание устойчивости и неустойчивости. Так как устойчивость системы зависит только от характера ее свободного движения, то данное свободное движение системы можно описать однородным дифференциальным уравнением:

(2.19.)

характеристическое уравнение, которого будет представлено следующим выражением:

(2.20.)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.19.) представим в следующем виде:

(2.21.)

где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий, pk – корни характеристического уравнения.

Корни характеристического уравнения могут быть комплексными (pk = αk ± jβk), действительными (pk = αk) или мнимыми (pk= k). Комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой, т.е. если имеется корень уравнения с положительной мнимой частью, то обязательно будет существовать корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. y(t) при t из (2.21.) будет стремиться к нулю лишь тогда, когда каждое слагаемое Ск е pkt→ 0. Характер данной функции будет зависеть от вида корня. Возможные случаи расположения корней pkна комплексной плоскости и соответствующие им функции y(t) = Ске pktпредставлены на рисунке 61. Вид функций показан внутри эллипсов.

Рис.61. Влияние расположения корней характеристического уравнения на

составляющие свободного движения системы

На рисунке 61 видно, что если каждому действительному корню pk = αk для выражения (2.21.) будет соответствовать слагаемое:

yк (t) = Ске αkt (2.22.)

тогда приαк < 0 (корень p1) функция при t → ∞ будет стремиться к нулю, при αк > 0 (корень p3 ) функция будет неограниченно возрастать, а при αк = 0 (корень p2 )функция будет оставаться постоянной.

Если характеристическое уравнение будет иметь комплексные корни, то каждой паре сопряженных комплексных корней p k, k+1= α k± k , будут соответствовать два слагаемых, которые можно объединить и представить в виде следующего выражения:

Данная функция представляет собой синусоиду с изменяющейся по экспоненте амплитудой и частотой βk. При отрицательной действительной части двух комплексных корней αк, к+1 < 0, (корни p4 и p5)колебательная составляющая функции будет затухать, а при положительной действительной части αк, к+1 > 0, (корни p8 и p9) амплитуда колебаний будет увеличиваться неограниченно. При отсутствии действительной части комплексных корней αк, к+1 = 0 (корни p6 и p7), т.е. наличии только мнимых корней, функция будет представлять собой незатухающую синусоиду с частотой βk.

Исходя из определения устойчивости, если первоначальное положение равновесия принимается за ноль, то у устойчивых систем величина выходного параметра с течением времени должна стремиться к нулю, т.е. система сама возвратится в положение равновесия. Необходимым и достаточным условием этого является, чтобы все слагаемые решения дифференциального уравнения (2.21.) с течением времени стремились к нулю, что может быть достигнуто при отрицательных действительных корнях уравнения, а комплексные корни должны иметь отрицательную действительную часть. Существование хотя бы одного положительного действительного корня или пары комплексных корней с положительной действительной частью приведет к тому, что величина выходного параметра системы не возвратится к первоначальному значению, т.е. система будет неустойчивой.

Анализируя местоположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, представленное на рисунке 62, можно заметить, что САУ является устойчивой, если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости и все они являются действительными отрицательными или комплексными с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного корня в правой полуплоскости будет характеризовать неустойчивость системы.

Устойчивость системы является внутренним свойством системы, зависящим только от вида корней характеристического уравнения, описывающего свойства системы, и не зависящим от внешнего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положение всех корней уравнения в левой (отрицательной) полуплоскости.

Положительную и отрицательную полуплоскости, в которых находятся положительные или отрицательные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость системы, разделяет мнимая ось ± . Данная ось является границей устойчивости, поэтому если у характеристического уравнения есть одна пара чисто мнимых корней p k, k+1k, а другие корни находятсяв отрицательной полуплоскости, то система характеризуется наличием незатухающих колебаний с частотой ω = βк . Принято считать, что в таком случае система находится на колебательной границе устойчивости.

Точка β = 0 на мнимой оси соответствует нулевому корню. Считается, что уравнение, имеющее один нулевой корень, находится на апериодической границе устойчивости, а при наличии двух нулевых корней система неустойчива.

Рис.62. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы на

комплексной плоскости

Не стоит забывать, что уравнения почти всех реальных САУ не являются линейными, а приведены к линейным уравнениям с помощью линеаризации, поэтому допущения, сделанные при линеаризации, могут повлиять на правильность определения устойчивости системы.

А. М. Ляпунов в 1892 г. в своей работе «Общая задача об устойчивости движения» привел доказательство теоремы, в которой были сделаны следующие выводы для линеаризованных уравнений:

1. Если все действительные корни характеристического уравнения системы являются отрицательными, то система считается устойчивой.

2. Если хотя бы один действительный корень характеристического уравнения системы положительный, то система считается неустойчивой.

3. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то нельзя судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению.

Следовательно, вывод об устойчивости реальных систем необходимо делать на основе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.

Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают необходимое и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.

Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.

studopedia.ru

Определение устойчивости типа деформаций (понятие о явлении потери устойчивости)

Устойчивостью называется способность сооружений сохранять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при действии внешних сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость положения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооружение отклоняется от исследуемого положения или равновесного состояния, однако после исчезновения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упруго-пластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесном состоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявляет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее - до нового положения или новой формы равновесного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию называется потерей устойчивости системы. Состояние перехода называется критическим состоянием. При этом, величины внешних сил, действующие на сооружение называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различают два вида потери устойчивости сооружения: потерю устойчивости положения и потерю устойчивости, вызванной сменой формы равновесного состояния.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанная со сменой формы деформированного состояния в строительной механике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивости первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято называть первое предельное состояние системы по несущей способности системы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем увеличении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

studopedia.ru

Читайте также