Сущность и значение средних величин

/ Метод средних величин, теория

Метод средних величин

3.1 Сущность и значение средних величин в статистике. Виды средних величин

Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика качественно однородных явлений и процессов по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности. Средняя величинаабстрактна, т.к. характеризует значение признака у некоторой обезличенной единицы совокупности.Сущность средней величины состоит в том, что через единичное и случайное выявляется общее и необходимое, т. е. тенденция и закономерность в развитии массовых явлений. Признаки, которые обобщают в средних величинах, присущи всем единицам совокупности. Благодаря этому средняя величина имеет большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям и не заметных в отдельных единицах совокупности

Общие принципы применения средних величин:

необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя величина;
при определении средней величины нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь исследуемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные;
средние величины должны рассчитываться по качественно однородным совокупностям, которые получают методом группировок, предполагающим расчёт системы обобщающих показателей;
общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

В зависимости от характера первичных данных, области применения и способа расчета в статистике различают следующие основные виды средних:

1) степенные средние (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, средняя квадратическая и кубическая);

2) структурные (непараметрические) средние (мода и медиана).

В статистике правильную характеристику изучаемой совокупности по варьирующему признаку в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средней.Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Эти и другие принципы в статистике выражаютсятеорией средних.

Например, средняя арифметическая и средняя гармоническая используются для характеристики среднего значения варьирующего признака у изучаемой совокупности. Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая только при исчислении показателей вариации.

Формулы расчёта средних величин представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Формулы расчёта средних величин

Виды средних величин	Формулы расчёта
Виды средних величин	простая	взвешенная
1. Средняя арифметическая
2. Средняя гармоническая
3. Средняя геометрическая
4. Средняя квадратическая

Обозначения: - величины, для которых исчисляется средняя; - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений; - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Очевидно, что различные средние выводятся из общей формулы степенной средней (3.1):

, (3.1)

при k = + 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = +2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называются величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность; в связи с этим каждый вариант приходится умножать на эту численность. «Весами» при этом выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

В итоге правильный выбор средней величины предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

3.2 Средняя арифметическая и её свойства и техника исчисления. Средняя гармоническая

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины; она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Важнейшие свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант (отдельных значений) на частоты.

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число.

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то новая средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частностями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Этот способ расчета средней арифметической называется способом расчета от условного нуля.

Средняя геометрическаянаходит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000).

Средняя квадратическаяприменяется для измерения вариации признака в совокупности (расчета среднего квадратического отклонения).

В статистике действует правило мажорантности средних:

Х гарм. < Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Структурные средние величины (мода и медиана)

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана и мода или так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном вариационном ряду

Мода— наиболее типичное, чаще всего встречаемое значение признака. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Чтобы найти конкретное значение моды интервального ряда, необходимо использовать формулу (3.2)

(3.2)

где Х_Мо - нижняя граница модального интервала; i_Мо - величина модального интервала; f_Мо - частота модального интервала; f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мода имеет широкое распространение в маркетинговой деятельности при изучении покупательского спроса, особенно при определении пользующихся наибольшим спросом размеров одежды и обуви, при регулировании ценовой политики.

Медиана— значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Дляранжированного ряда с нечетным числоминдивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т.е. четвёртая величина - 6. Дляранжированного ряда с четным числоминдивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин. Для нашего случая медиана равна (7+10)/2= 8,5.

Т. о., для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном ряду) по формулам (3.3):

(если частот нет)

N Me = (если частоты есть) (3.3)

где n - число единиц в совокупности.

Численное значение медианы интервального ряда определяют по накопленным частотам в дискретном вариационном ряду. Для этого сначала следует указать интервал нахождения медианы в интервальном ряду распределения. Медианным называют первый интервал, где сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений.

Численное значение медианы обычно определяют по формуле (3.4)

(3.4)

где x_Ме - нижняя граница медианного интервала; iМе - величина интервала; SМе_-1 - накопленная частота интервала, которая предшествует медианному; fМе - частота медианного интервала.

Внутри найденного интервала расчет медианы производится также по формуле Ме = xl_е, где второй множитель в правой части равенства показывает расположение медианы внутри медианного интервала, а х — длина этого интервала. Медиана делит вариационный ряд пополам по частотам. Определяют ещеквартили, которые делят вариационный ряд на 4 равновеликие по вероятности части, идецили, делящие ряд на 10 равновеликих частей.

StudFiles.ru

Сущность и значение средних величин

Тема № 5. Средние величины

План

Сущность и значение средних величин

Виды степенных средних и способы их вычисления

Средняя арифметическая

Вычисление средней арифметической интервального ряда

Свойства средней арифметической

Средняя гармоническая

Средняя геометрическая

Средняя квадратическая и средняя кубическая

Структурные средние

Сущность и значение средних величин

Опр. Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень изучаемого признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений признака одной усредненной величиной В средней величине отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Более отчетливо проявляется статистическая закономерность. Средняя одним числом характеризует то общее, что типично для всех единиц исследуемой совокупности.

Выделяют следующие условия применения средних величин:

1. качественная однородность совокупности, т.е. расчет средних величин на основе метода группировок (выделение однородных, однотипных явлений);

2. массовость единиц совокупности, что повлечет выполнение закона больших чисел (обеспечение устойчивости средних).

3. установление цели расчета и так называемого определяющего показателя (свойства), на который она должна быть ориентирована.

Определяющее свойство – способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей. Средняя, как обобщающая характеристика совокупности должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности.

Задачи применения метода средних:

1. характеристика уровня развития явлений;

2. сравнение двух или нескольких уровней;

3. изучение взаимосвязей явлений;

4. анализ размещения явлений во времени;

Средняя, рассчитанная для совокупности в целом, называется общей , а для каждой группы – групповой .

Существует 2 класса средних величин:

1) степенные средние – средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая;

2) структурные средние – мода и медиана.

studopedia.ru

Средние величины, их сущность и значение

Глава 6. Средние величины.

Виды графиков и их классификация

В основу классификации множества графиков может быть положено несколько признаков: а) способ построения графического образа, б) геометрические знаки, с помощью которых изображаются статистические показатели, в) задачи, решаемые с помощью графика.

По способу построения графики делятся на: диаграммы и статистические карты. Наиболее распространенными являются диаграммы. Диаграммы применяются для пространственного, временного и др. сопоставления независимых друг от друга показателей. Статистические карты – графическое изображение статистических данных на картах, характеризующих уровень или степень распространения того или иного явления.

Геометрические знаки – это либо точки, либо линии или плоскости, либо геометрические тела. В соответствии с этим различают графики точечные, линейные, плоскостные и пространственные (объемные).

При построении точечных диаграмм применяются совокупности точек, при построении линейных – линии. Основной принцип построения плоскостных диаграмм – в том, что показатели изображаются в виде геометрических фигур и подразделяются на столбиковые, полосовые, круговые, квадратные и фигурные.

Статистические карты по графическому образу делятся на картограммы и картодиаграммы.

В зависимости от круга решаемых задач выделяют диаграммы сравнения, структуры и динамики.

Особым видом графиков являются диаграммы распределения вариационных рядов. Это гистограмма, полигон, огива, кумулята.

Статистические графики по форме графического образа

½ ½ ½

линейные

плоскостные

объемные

½ ½ ½ ½ ½ ½ ½

статистические кривые

½ ½ ½

полосовые

½ ½ ½

круговые

½ ½ ½

поверхностные распределения

½ ½ ½

фигурные

секторные

_½_

точечные

фоновые

½ ½

столбиковые

квадратные

Статистические графики по способу построения и задачам изображения

½ ½

диаграммы

статистические карты

½ ½ ½ ½ ½

структурные диаграммы

диаграммы сравнения

диаграммы динамики

картограммы

картодиаграммы

Диаграммы сравнения применяются для графического отображения статистических данных с целью их наглядного сопоставления друг с другом в тех или иных разрезах.

Структурные диаграммы характеризуют соотношения отдельных параметров совокупности или ее частей.

Диаграммы динамики характеризуют развитие явления во времени.

Картограммы – географическая карта, на которой точками (точечная картограмма), штриховкой или окраской различной густоты (фоновые картограммы) показывается сравнительная интенсивность какого-либо показателя в пределах каждого нанесенного на карту территориального деления.

Картодиаграмма – сочетание диаграмм со статистической картой.

Вопросы для самопроверки:

Ø Дайте определение графику. Какую задачу они решают?

Ø Назовите основные элементы графиков.

Ø Какие основные правила построения графиков вы знаете?

Ø Приведите примеры искажения статистических данных, обусловленные несоблюдением правил построения графиков.

Ø Какие виды графиков вы знаете: а)по способу построения, б) по геометрическим знакам, в) по задачам, решаемым с помощью графиков?

В результате группировки и сводки первичных материалов получаются статистические данные о численности единиц или суммарном значении интересующего нас признака по всей совокупности или в отдельных группах.

Часто необходимо исчислять показатели, дающие обобщенную характеристику совокупности по тому или иному признаку. Среди таких показателей большое значение имеют средние величины.

В процессе изучения массовых общественных явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Эта необходимость возникает тогда, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Таким образом, средние величины исчисляют для того, чтобы дать сводную обобщающую характеристику всей совокупности или ее отдельных групп по одному какому-либо признаку. Например, заработная плата у работников одной профессии может быть различна и зависит от стажа, квалификации и др. показателей, но в то же время в условиях конкретного места и времени существует какой-то характерный размер их заработка в отличие от заработка других профессий.

Исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств. Таким образом, средняя величина является величиной абстрактной, так как она не подменяет конкретных индивидуальных значений признака, но именно в этой способности абстрагироваться от случайностей отдельных значений и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупности.

Например, часовая выработка рабочих (токарь) зависит от общих условий производства (все работают на одинаковых станках, используют одинаковое сырье и т.д.). В то же время часовая выработка отдельных рабочих колеблется, варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого рабочего (его квалификации, образования). Для того чтобы охарактеризовать часовую выработку всех рабочих, необходимо вычислить среднюю величину часовой выработки, так как только в этом показателе найдут отражение общие для рабочих условия производства.

Средними величинами в статистике называют такие показатели,

которые выражают типичные черты и дают

обобщенную количественную характеристику

однородных общественных явлений по

какому-либо варьирующему признаку.

Средняя величина характеризует всю массу единиц изучаемой совокупности, выражая то общее, что свойственно данной совокупности и не характеризует отдельные единицы, из которых состоит совокупность.

Средняя величина правильно характеризует только однородные (однотипные) по содержанию группы или совокупности: только такая средняя будет типичной. Если же средние исчисляются для разнокачественных, разнотипных явлений, то они теряют реальный смысл. Например, средний доход на 1 жителя: экономическая природа доходов рабочих, служащих, бизнесменов различна. Глеб Успенский «Четверть лошади»: «если взять миллионщика Колотушкина, у которого в кармане миллион, к нему добавить просвирню Кукушкину, у которой грош, так тогда в среднем на каждого и выйдет по полмиллиона».

В зависимости от того, являются ли показатели абсолютными или относительными величинами, вычисленные из них средние также принимают значения абсолютных или относительных величин.

Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов:

· общих и типичных (например, при вычислении выработки необходимо сравнивать бригады, осуществляющие работу в течение рабочего дня одинаковой продолжительности, использующие одинаковые средства труда и т.д.);

· индивидуальных, свойственных каждой единице совокупности (например, квалификация, стаж).

Именно причины I порядка и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине.

Прежде чем исчислять среднюю величину, необходимо:

- обеспечить качественную однородность единиц совокупности путем применения метода группировок;

- исчислять средние не только для совокупности в целом, а широко использовать групповые средние для отдельных частей совокупности;

- правильно выбирать вид средней в зависимости от свойств осредняемых величин.

studopedia.ru

Тема 2.8 Средние величины в статистике

1. Сущность и значение средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

2. Виды средних величин и методы их расчёта

3. Свойства средней арифметической

1. Сущность и значение средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщённое значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определённой отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведённого национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

2. Виды средних величин и методы их расчёта

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории средних величин (рис. 2.14):

* степенные средние;

* структурные средние.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую и средняя кубическая.

Рис. 2.14. Виды средних в статистике

Вторая категория (структурные средние) - это мода и медиана. Эти виды средних будут рассмотрены в теме: «Структурные характеристики вариационного ряда распределения».

Введём следующие условные обозначения:

- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;