Значения - критерия Пирсона
Число степеней свободы K=(m11)∙(m2-1) |
Уровень значимости |
Число степеней свободы |
Уровень значимости |
||||
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2,71 |
3,84 |
6,63 |
21 |
29,62 |
32,67 |
38,93 |
2 |
4,61 |
5,99 |
9,21 |
22 |
30,81 |
33,92 |
40,29 |
3 |
6,25 |
7,81 |
11,34 |
23 |
32,01 |
35,17 |
41,64 |
4 |
7,78 |
9,49 |
13,28 |
24 |
33,20 |
36,42 |
42,98 |
5 |
9,24 |
11,07 |
15,09 |
25 |
34,38 |
37,65 |
44,31 |
6 |
10,64 |
12,59 |
16,81 |
26 |
35,56 |
38,89 |
45,64 |
7 |
12,02 |
14,07 |
18,48 |
27 |
36,74 |
40,11 |
46,96 |
8 |
13,36 |
15,51 |
20,09 |
28 |
37,92 |
41,34 |
48,28 |
9 |
14,68 |
16,92 |
21,67 |
29 |
39,09 |
42,56 |
49,59 |
10 |
15,99 |
18,31 |
23,21 |
30 |
40,26 |
43,77 |
50,89 |
11 |
17,28 |
19,68 |
24,72 |
40 |
51,80 |
55,76 |
63,69 |
12 |
18,55 |
21,03 |
26,22 |
50 |
63,17 |
67,50 |
76,15 |
13 |
19,81 |
22,36 |
27,69 |
60 |
74,40 |
79,08 |
88,38 |
14 |
21,06 |
23,68 |
29,14 |
70 |
85,53 |
90,53 |
100,42 |
15 |
22,31 |
25,00 |
30,58 |
80 |
96,58 |
101,88 |
112,33 |
16 |
23,54 |
26,30 |
32,00 |
90 |
107,56 |
113,14 |
124,12 |
17 |
24,77 |
27,59 |
33,41 |
100 |
118,50 |
124,34 |
135,81 |
18 |
25,99 |
28,87 |
34,81 |
||||
19 |
27,20 |
30,14 |
36,19 |
||||
20 |
28,41 |
31,41 |
37,57 |
Таблица 3
Значения f-критерия Фишера при уровне значимости 0,05
v2 v1 |
1 |
2 |
3 |
v2 v1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
161,00 |
200,00 |
216,00 |
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19 |
4,38 |
3,52 |
3,13 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
22 |
4,30 |
3,44 |
3,05 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
23 |
4,28 |
3,42 |
3,03 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
25 |
4,24 |
3,88 |
2,99 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
26 |
4,22 |
3,37 |
2,98 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
27 |
4,21 |
3,35 |
2,96 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
28 |
4,20 |
3,34 |
2,95 |
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
29 |
4,18 |
3,33 |
2,93 |
13 |
4,67 |
3,80 |
3,41 |
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
50 |
4,03 |
3,18 |
2,79 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
100 |
3,94 |
3,09 |
2,70 |
V1=m-1; V2=n-m; n-число наблюдений; m-число признаков.
Таблица 4
StudFiles.ru
Значения критерия Пирсона (критерия )
-
Число степеней свободы,
1
3,84
6,63
2
5,99
9,21
3
7,81
11,3
4
9,49
13,3
5
11,1
15,1
6
12,6
16,8
7
14,1
18,5
8
15,5
20,1
9
16,9
21,7
10
18,3
23,2
-
Табличные значения критерия Вилкоксона
N |
||
6 |
0 |
|
7 |
2 |
|
8 |
4 |
0 |
9 |
6 |
2 |
10 |
8 |
3 |
11 |
11 |
5 |
12 |
14 |
7 |
13 |
17 |
10 |
14 |
21 |
13 |
15 |
25 |
16 |
16 |
30 |
20 |
17 |
35 |
23 |
18 |
40 |
28 |
19 |
46 |
32 |
20 |
52 |
38 |
21 |
59 |
43 |
22 |
66 |
49 |
23 |
73 |
55 |
24 |
81 |
61 |
25 |
89 |
68 |
-
Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни .
Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни. Для экспериментального значения критерия (меньшего из двух значений) и объемов выборокнаходят вероятность того, что обе группы принадлежат одной генеральной совокупности. Таким образом, низкое значение вероятности, например, Р
-
Таблица 1.
U
1
2
3
0
0,250
0,100
0,050
1
0,500
0,200
0,100
2
0,750
0,400
0,200
3
0,600
0,350
4
0,500
5
0,650
-
Таблица 2.
U |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0.200 |
0.067 |
0.028 |
0.014 |
1 |
0.400 |
0.133 |
0.057 |
0.029 |
2 |
0.600 |
0.267 |
0.114 |
0.057 |
3 |
0.400 |
0.200 |
0.100 |
|
4 |
0.600 |
0.314 |
0.171 |
|
5 |
0.429 |
0.243 |
||
6 |
0.571 |
0.343 |
||
7 |
0.443 |
|||
8 |
0.557 |
-
Таблица 3.
U
1
2
3
4
5
0
0.167
0.047
0.018
0.008
0.004
1
0.333
0.095
0.036
0.016
0.008
2
0.500
0.190
0.071
0.032
0.016
3
0.667
0.286
0.125
0.056
0.028
4
0.429
0.196
0.095
0.048
5
0.571
0.286
0.143
0.075
6
0.393
0.206
0.111
7
0.500
0.278
0.155
8
0.607
0.365
0.210
9
0.452
0.274
10
0.548
0.345
11
0.421
12
0.500
-
Таблица 4.
U
1
2
3
4
5
6
0
0.143
0.036
0.012
0.005
0.002
0.001
1
0.286
0.071
0.024
0.010
0.004
0.002
2
0.428
0.143
0.048
0.019
0.009
0.004
3
0.571
0.214
0.083
0.033
0.015
0.008
4
0.321
0.131
0.057
0.026
0.013
5
0.429
0.190
0.086
0.041
0.021
6
0.571
0.274
0.129
0.063
0.032
7
0.357
0.176
0.089
0.047
8
0.452
0.238
0.12
0.066
9
0.548
0.305
0.165
0.090
10
0.381
0.214
0.120
11
0.457
0.268
0.155
12
0.545
0.331
0.197
13
0.396
0.242
14
0.465
0.294
15
0.535
0.350
16
0.409
17
0.469
18
0.531
-
Таблица 5.
U |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
0.125 |
0.028 |
0.008 |
0.003 |
0.001 |
0.001 |
0.000 |
1 |
0.250 |
0.056 |
0.017 |
0.006 |
0.003 |
0.001 |
0.001 |
2 |
0.375 |
0.111 |
0.033 |
0.012 |
005 |
0.002 |
0.001 |
3 |
0.500 |
0.167 |
0.058 |
0.021 |
0.009 |
0.004 |
0.002 |
4 |
0.625 |
0.250 |
0.092 |
0.036 |
0.015 |
0.007 |
0.003 |
5 |
0.333 |
0.133 |
0.055 |
0.024 |
0.011 |
0.006 |
|
6 |
0.444 |
0.192 |
0.082 |
0.037 |
0.017 |
0.009 |
|
7 |
0.556 |
0.258 |
0.115 |
0.053 |
0.026 |
0.013 |
|
8 |
0.333 |
0.158 |
0.074 |
0.037 |
0.019 |
||
9 |
0.417 |
0.206 |
0.101 |
0.051 |
0.027 |
||
10 |
0.500 |
0.264 |
0.134 |
0.069 |
0.036 |
||
11 |
0.583 |
0.324 |
0.172 |
0.090 |
0.049 |
||
12 |
0.394 |
0.216 |
0.117 |
0.064 |
|||
13 |
0.464 |
0.265 |
0.147 |
0.082 |
|||
14 |
0.538 |
0.319 |
0.183 |
0.104 |
|||
15 |
0.378 |
0.223 |
0.130 |
||||
16 |
0.438 |
0.267 |
0.159 |
||||
17 |
0.500 |
0.314 |
0.191 |
||||
18 |
0.562 |
0.365 |
0.228 |
||||
19 |
0.418 |
0.267 |
|||||
20 |
0.473 |
0.310 |
|||||
21 |
0.527 |
0.355 |
|||||
22 |
0.402 |
||||||
23 |
0.451 |
||||||
24 |
0.500 |
||||||
25 |
0.549 |
-
-
Таблица 6.
U
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.111
0.022
0.006
0.002
0.001
0.000
0.000
0.000
1
0.222
0.044
0.012
0.004
0.002
0.001
0.000
0.000
2
0.333
0.089
0.024
0.008
0.003
0.001
0.001
0.000
3
0.444
0.133
0.042
0.014
0.005
0.002
0.001
0.001
4
0.556
0.200
0.067
0.024
0.009
0.004
0.002
0.001
5
0.267
0.097
0.036
0.015
0.006
0.003
0.001
6
0.356
0.139
0.055
0.023
0.010
0.005
0.002
7
0.444
0.188
0.077
0.033
0.015
0.007
0.003
8
0.556
0.248
0.107
0.047
0.021
0.010
0.005
9
0.315
0.141
0.064
0.030
0.014
0.007
10
0.387
0.184
0.085
0.041
0.020
0.010
11
0.461
0.230
0.111
0.054
0.027
0.014
12
0.539
0.285
0.142
0.071
0.036
0.019
13
0.341
0.177
0.091
0.047
0.025
14
0.404
0.217
0.114
0.060
0.032
15
0.467
0.262
0.141
0.076
0.041
16
0.533
0.311
0.172
0.095
0.052
17
0.362
0.207
0.116
0.065
18
0.416
0.245
0.140
0.080
19
0.472
0.286
0.168
0.097
20
0.528
0.331
0.198
0.117
21
0.377
0.232
0.139
22
0.426
0.268
0.164
23
0.475
0.306
0.191
24
0.525
0.347
0.221
25
0.389
0.253
26
0.433
0.287
27
0.478
0.323
28
0.522
0.360
-
-
Таблица критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости .
Если , то различие между выборками достоверно для, то есть нулевую гипотезу следует отвергнуть.
N2 |
||||||||||||
N1 |
0 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
||||||||||||
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
8 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
11 |
12 |
13 |
13 |
5 |
7 |
8 |
9 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
10 |
11 |
13 |
14 |
16 |
17 |
19 |
21 |
22 |
24 |
25 |
27 |
7 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
30 |
32 |
34 |
8 |
15 |
17 |
19 |
22 |
24 |
26 |
29 |
31 |
34 |
36 |
38 |
41 |
9 |
17 |
20 |
23 |
26 |
28 |
31 |
34 |
37 |
39 |
42 |
45 |
48 |
10 |
20 |
23 |
26 |
29 |
33 |
36 |
39 |
42 |
45 |
48 |
52 |
55 |
11 |
23 |
26 |
30 |
33 |
37 |
40 |
44 |
47 |
51 |
55 |
58 |
62 |
12 |
26 |
29 |
33 |
37 |
41 |
45 |
49 |
53 |
57 |
61 |
65 |
69 |
13 |
28 |
33 |
37 |
41 |
45 |
50 |
54 |
59 |
63 |
67 |
72 |
76 |
14 |
31 |
36 |
40 |
45 |
50 |
55 |
59 |
64 |
67 |
74 |
78 |
83 |
15 |
34 |
39 |
44 |
49 |
54 |
59 |
64 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
16 |
37 |
42 |
47 |
53 |
59 |
64 |
70 |
75 |
81 |
86 |
92 |
98 |
17 |
39 |
45 |
51 |
57 |
63 |
67 |
75 |
81 |
87 |
93 |
99 |
105 |
18 |
42 |
48 |
55 |
61 |
67 |
74 |
80 |
86 |
93 |
99 |
106 |
112 |
19 |
45 |
52 |
58 |
65 |
72 |
78 |
85 |
92 |
99 |
106 |
113 |
119 |
20 |
48 |
55 |
62 |
69 |
76 |
83 |
90 |
98 |
105 |
112 |
119 |
127 |
StudFiles.ru
9.2. Коэффициент корреляции Пирсона
Термин «корреляция» был введен в науку выдающимся английским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреляции разработал его ученик Карл Пирсон. Знакомство с корреляционным анализом мы начнем с изучения этого коэффициента. Сам коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициентом линейной корреляции Пирсона.
Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 – являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина большая +1 или меньшая -1 – следовательно, произошла ошибка в вычислениях.
Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут располагаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными X и Y будет равна точно –1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.
Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Подчеркнем еще раз, что если знак коэффициента линейной корреляции – плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.
Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания – произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если психолог будет считать, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот. Эти положения очень важно четко усвоить для правильной интерпретации полученной корреляционной зависимости.
В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:
, (9.1)
где xi – значения, принимаемые переменной X;
yi – значения, принимаемые переменной Y;
Мх– средняя по X;
Му– средняя по Y.
Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные X и Y распределены нормально.
Формула (9.1) предполагает, что из каждого значения xi переменной X, должно вычитаться ее среднее значение Мх. Это неудобно. Поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не эту формулу, а ее аналог, получаемый простыми преобразованиями:
, (9.2)
где и,
или модификацию этой формулы:
. (9.3)
Согласно формулам (9.2) и (9.3) необходимо подсчитать сумму каждой переменной, сумму квадратов каждой переменной и сумму последовательных произведений переменных друг на друга. Подчеркнем, что сумма квадратов – не равняется квадрату суммы!
Обратим внимание еще вот на какое обстоятельство. В формуле (9.1) встречается величины
. (9.4)
При делении на n (число значений переменной X или Y) она называется ковариацией. Выражение (9.4) может быть подсчитано только в тех случаях, когда число значений переменной X равно числу значений переменной Y и равно n. Формула (9.4) предполагает также, что при расчете коэффициентов корреляции нельзя произвольно переставлять элементы в коррелируемых столбцах, как это делается, например, в случае расчета по критерию S Джонкира.
Используя формулу (9.3), решим следующую задачу.
Пример 9.1.20 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y – среднее время решения вербальных заданий тестов.
Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.
Н0: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач отсутствует.
Н1: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач присутствует.
Представим исходные данные в виде таблицы, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле (9.3). В таблице 9.1 даны индивидуальные значения переменных X и Y, построчные произведения переменных Х и Y, квадраты переменных всех индивидуальных значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин.
Таблица 9.1
№ испытуемых |
X |
Y |
X∙Y |
X∙X |
Y∙Y |
Среднее время решения наглядно-образных заданий |
Среднее время решения вербальных заданий |
||||
1 |
19 |
17 |
323 |
361 |
289 |
2 |
32 |
7 |
224 |
1024 |
49 |
3 |
33 |
17 |
561 |
1089 |
289 |
4 |
44 |
28 |
1232 |
1936 |
784 |
5 |
28 |
27 |
756 |
784 |
729 |
6 |
35 |
31 |
1085 |
1225 |
961 |
7 |
39 |
20 |
780 |
1521 |
400 |
8 |
39 |
17 |
663 |
1521 |
289 |
9 |
44 |
35 |
1540 |
1936 |
1225 |
10 |
44 |
43 |
1892 |
1936 |
1849 |
11 |
24 |
10 |
240 |
576 |
100 |
12 |
37 |
28 |
1036 |
1369 |
784 |
13 |
29 |
13 |
377 |
841 |
169 |
14 |
40 |
43 |
1720 |
1600 |
1849 |
15 |
42 |
45 |
1890 |
1764 |
2025 |
16 |
32 |
24 |
768 |
1024 |
5760 |
17 |
48 |
45 |
2160 |
2304 |
2025 |
18 |
42 |
26 |
1092 |
1764 |
679 |
19 |
33 |
16 |
528 |
1089 |
256 |
20 |
47 |
26 |
1222 |
2209 |
676 |
Сумма |
731 |
518 |
20089 |
27873 |
16000 |
Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле (9.3).
.
Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по таблице критических значений коэффициента корреляции Пирсона (таблица 1 приложения 1). Особо отметим, что в этой таблице величины критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона даны по абсолютной величине. Следовательно, при получении как положительного, так и отрицательного коэффициента корреляции по формуле (9.3) оценка уровня значимости этого коэффициента проводится по той же таблице без учета знака, а знак добавляется для дальнейшей интерпретации характера связи между переменными X и Y.
При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона гэмп число степеней свободы рассчитывается как k = n – 2. В нашем случае к = 20, поэтому n – 2 = 20 – 2 = 18. В первом столбце таблицы 1 приложения 1 в строке, обозначенной числом 18, находим:
Строим соответствующую ось значимости.
Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в зону значимости – гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Иными словами, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач статистически значима на 1% уровне и положительна. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных, и наоборот.
Для применения коэффициента корреляции Пирсона необходимо соблюдать следующие условия:
-
Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.
-
Распределения переменных Х и Y должны быть близки к нормальному.
-
Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.
-
Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции Пирсона рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня значимости по таблицам осуществляется при числе степеней свободы k = n – 2.
StudFiles.ru
Расчет корреляционной связи между двумя признаками
У участников психологического эксперимента был измерен уровень соперничества (по тесту Томаса) и стиль общения (по тесту Журавлева). Полученные данные занесены в таблицу 6. Можно ли утверждать, что люди, склонные к соперничеству, предпочитают деспотичный стиль общения? Можно ли утверждать, что люди, склонные к соперничеству, предпочитают коллегиальный или либеральный стиль общения?
Цель задания. Освоить метод корреляционного анализа и построить график двумерного рассеяния.
Таблица 6 – Результаты психологического исследования уровня
соперничества (по тесту Тамаса) и стиля общения (по тесту Журавлева)
№ респон-дента | Возраст | Уровень соперничества | Деспотический стиль общения | Коллегиальный стиль общения | Либеральный стиль общения | |
Решение. Для решения задачи перенесём данные из таблицы 6 в лист рабочей книги MS Excel.
Построим графики двумерного рассеяния случайной величины (X, Y), где X – уровень соперничества, Y – стиль общения: деспотический (рис.8), коллегиальный (рис.9), и либеральный (рис.10).
Для оценки степени взаимосвязи величин X и Y, измеренных в количественных шкалах, используется коэффициент линейной корреляции (коэффициент Пирсона), предполагающий, что выборки X и Y распределены по нормальному закону.
Коэффициент корреляции – параметр, который характеризует степень линейной взаимосвязи между двумя выборками, рассчитывается по формуле:
Коэффициент корреляции изменяется от -1 (строгая обратная линейная зависимость) до 1 (строгая прямая линейная зависимость). При значении 0 линейной зависимости между двумя выборками нет.
Рисунок 8 – График двумерного рассеяния
(X – уровень соперничества, Y – деспотический стиль общения)
В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции Пирсона можно пользоваться статистической функцией КОРРЕЛ (массив1; массив2), где массив1 – ссылка на диапазон ячеек первой выборки (X); массив2 – ссылка на диапазон ячеек второй выборки (Y).
Рисунок 9 – График двумерного рассеяния
(X – уровень соперничества, Y – коллегиальный стиль общения)
Рисунок 10 – График двумерного рассеяния
(X – уровень соперничества, Y – либеральный стиль общения)
Рассчитаем коэффициент корреляции по указанной выше формуле. Результаты представлены в таблице 7.
Таблица 7 – Коэффициент корреляции Пирсона
между стилем общения и уровнем соперничества
Стиль общения | Коэффициент корреляции Пирсона стиля общения с уровнем соперничества |
Деспотический | 0,993 |
Коллегиальный | -0,053 |
Либеральный | -0,441 |
Так как количество респондентов N=21, то число степеней свободы . Из таблицы «Значения (критические) коэффициента корреляции Пирсона r для различный уровней зависимости и различного числа степеней свободы (размеров выборок)» (см. приложения) найдем критические значения коэффициента корреляции и выпишем их в таблицу 8.
Таблица 8 – Критические значения коэффициента корреляции Пирсона (для N=21)
Число степеней свободы df=(N-2) | Уровень значимости для двустороннего критерия Пирсона | ||||
0,050 | 0,250 | 0,010 | 0,005 | 0,0005 | |
0,369 | 0,430 | 0,050 | 0,549 | 0,6652 |
Таким образом, из таблицы 7 и 8 видно, что между уровнями соперничества и деспотическим стилем общения наблюдается линейная корреляция по Пирсону на уровне значимости 0,0005, т.е. с надежностью 99,95% можно утверждать, что люди, склонные к соперничеству предпочитают деспотичный стиль общения. Гипотеза о корреляции коллегиального стиля общения с уровнем соперничества и корреляции либерального стиля общения с уровнем соперничества на уровне значимости 0,05 статистически не подтвердились.
4. Анализ классификации при сравнении эмпирического и теоретического распределений
Проведено исследование, в котором проводилось сравнение частот проявления агрессии в группе студентов-психологов и остальных студентов вуза в ходе проведения тренинга преодоления агрессивного поведения. Средняя частота проявления агрессии по вузу составила K %, а в данном случае из N студентов-психологов ярко выраженное агрессивное поведение проявили L студентов. Можно ли на этом основании сделать вывод о том, что среди студентов психологов проявление агрессии наблюдается реже, чем в целом по вузу? (Значения N, K, L см. в таблице 9).
Таблица 9 – Значения N, K, L согласно варианту контрольной работы
N | K | L |
Цель задания. Освоение метода анализа классификации при сравнении эмпирического и теоретического распределений в случае двух градаций (применяется биноминальный критерий) и в случае более двух градаций (применяется критерий χ2).
Решение. Сформулируем гипотезы:
- H0: Частота проявления агрессии в группе студентов-психологов не превышает средней частоты проявления агрессии в целом по вузу;
- H1: Частота проявления агрессии в группе студентов-психологов превышает среднюю частота проявления агрессии в целом по вузу.
Будем считать, что вероятность проявления агрессии у студентов совпадает с частотой его проявления у всех студентов вуза . Используя данные таблицы 9, найдем эмпирическую частоту проявления агрессии у студентов-психологов по формуле . Таким образом, получаем
Так как: 1) fэмп > fтеор, 2) , 3) объем выборки удовлетворяет условию: , то применим биномиальный критерий. Согласно биномиальному критерию подтверждается гипотеза H1: fэмпдостоверно выше fтеор.
Таким образом, частота проявления агрессии в исследуемой группе студентов-психологов превышает среднюю частота проявления агрессии в целом по вузу.
5. Анализ таблиц сопряженности двух номинативных признаков
Цель задания: освоение метода анализа таблиц сопряженности.
Для каждого абитуриента репрезентативной выборки определены а) пол; б) одна из четырех возможных новых гуманитарных специальностей открытых только в данном вузе (таблица 10).
Таблица 10 – Таблица сопряженности двух номинативных признаков
согласно варианту контрольной работы
Y – специальность | ||||
Всего | ||||
Х - пол | Муж. (1) | |||
Жен. (2) | ||||
Всего: |
Проверить гипотезу о зависимости выбора специальности от пола.
Решение. Сформулируем гипотезы:
- H0: Распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в вузе не зависит от их пола;
- H1: Распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в вузе зависит от их пола.
Для проверки гипотезы H0 будем использовать метод, получивший название c2 (хи-квадрат) критерий.
где – фактическая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;
– ожидаемая частота в i-ой строке, j-ом столбце таблицы сопряженности;
r = число строк в таблице сопряженности;
c = число столбцов в таблице сопряженности.
Найдем фактические частоты, которые находятся делением значения, записанного в соответствующей ячейке таблицы на общее число наблюдений (число в правом нижнем углу таблицы). Результаты запишем в таблицу 11.
Таблица 11 – Таблица фактических частот заданных номинативных признаков
Y – специальность | ||||
Всего | ||||
Х - пол | Муж. (1) | |||
Жен. (2) | ||||
Всего: |
Теперь найдем ожидаемые частоты, которые находятся делением произведения двух соответствующих этой клетки сумм, записанных по краям таблицы, на сумму всех наблюдаемых частот. Результаты запишем в таблицу 12.
Таблица 12 – Таблица ожидаемых частот заданных номинативных признаков
Y - специальность | ||||
Всего | ||||
Х - пол | Муж. (1) | |||
Жен. (2) | ||||
Всего: |
Вычисленную величину c2 сравним со стандартными значениями. Если она превышает то или иное стандартное значение, исходная гипотеза о независимости признаков отвергается на соответствующем уровне значимости. Для этого найдем число степеней свободы. В случае, когда по каждому признаку подразделяют не менее трёх градаций, число степеней свободы находят по формуле: n = (r - 1) + (c -1), где r - число градаций в первой классификации, c - во второй классификации. Если же одна из классификаций содержит только две градации, то n = (c – 1), где с – число градаций в более дробной классификации.
Таблица 13 – Стандартные значения распределения c2
Число степеней свободы | Уровень значимости | |||||
0,01 | 0,025 | 0,05 | 0,95 | 0,975 | 0,99 | |
9,2 | 7,4 | 0,103 | 0,051 | 0,02 | ||
11,3 | 9,4 | 7,8 | 0,352 | 0,216 | 0,115 | |
13,3 | 11,1 | 9,5 | 0,711 | 0,484 | 0,297 | |
15,1 | 12,8 | 11,1 | 1,15 | 0,831 | 0,554 |
Так как число степеней свободы здесь равно n = 4 – 1 = 3 фактическая величина = 2,48 меньше представленных в таблице критических значений для уровней значимости 0,01; 0,025 и 0,05, следовательно гипотеза Н0 о независимости распределения абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям открытым в данном вузе от пола отвергается, а принимается гипотеза Н1.
Таким образом, рассматриваемое в задание распределение абитуриентов по заданным гуманитарным специальностям, открытым в данном вузе статистически значимо зависит от пола абитуриентов.
6. Анализ последовательности (критерий серий)
Цель задания: освоение метода анализа последовательности с помощью критерия серий.
Исследуется динамика научения в игровом задании. Исследователь предполагает частые повторы проигрышей в начале и выигрышей – в конце последовательности игр (проверяется направленная гипотеза). Игроком сыграно N партий, из них проиграно M, выиграно L, число серий W. К концу последовательности игр наблюдается преобладании выигрышей. Проверить гипотезу с применением Z-критерия серий.
Таблица 1 – Значение числа партий, выигрышей, проигрышей и серий
N | M | L | W |
Решение. Сформулируем гипотезы:
- H0: Выигрыши и проигрыши случайны;
- H1: В последовательности выигрышей и проигрышей существует значимая статистическая зависимость – число выигрыше в конце последовательности преобладает перед числом проигрышей (направленная гипотеза).
Для проверки гипотезы H0 будем использовать метод, получивший название критерий серий для одной выборки. Критерий серий позволяет с определенной долей вероятности ответить на вопрос, существует ли зависимость в последовательности выигрышей и проигрышей.
Уровень значимости выберем 0,05.
Последовательность может оказаться неслучайной, если в ней слишком мало или слишком много серий. Поэтому из таблицы критических значений критерия серий находим два критических значения: Rверх=21, Rнижн = 9, – верхнюю и нижнюю границу соответственно. Если W больше либо равно верхней границы или меньше либо равно нижней границы, то гипотезе H0 отклоняется. Так как число серий W=8, заданное в условии задачи, меньше Rнижн=9 то гипотеза H0 о случайности выигрышей и проигрышей не подтвердилась.
Таким образом, в последовательности выигрышей и проигрышей существует значимая (на уровне значимости 0,05) статистическая зависимость – число выигрыше в конце последовательности партий преобладает перед числом проигрышей. Следовательно, можно сделать вывод о статистически значимой динамике научения в игровом задании.
studopedia.ru
Квантили распределения хи-квадрат
Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.
Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной (затребованной) вероятности а.
Равенство функции распределения хи-квадрат вероятности а означает, что с вероятностью а будут наблюдаться значения хи-квадрат, не большие, чем найденный (определенный согласно функции распределения) квантиль хи-квадрат. Таким образом, найти квантиль означает разграничить распределения хи-квадрат согласно заданной вероятности а.
Определение
Пусть F n {\displaystyle F_{n}} — функция распределения хи-квадрат χ 2 ( n ) {\displaystyle \chi ^{2}(n)} с n {\displaystyle n} степенями свободы, и α ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \alpha \in [0,1]} . Тогда α {\displaystyle \alpha } -квантилью этого распределения называется число χ α , n 2 {\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}} такое, что
F n ( χ α , n 2 ) = α {\displaystyle F_{n}\left(\chi _{\alpha ,n}^{2}\right)=\alpha } .Замечания
- Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с n {\displaystyle n} степенями свободы, не превышает значение χ α , n 2 {\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}} с вероятностью α {\displaystyle \alpha } и превышает его с вероятностью 1 − α {\displaystyle 1-\alpha } .
- Функция F n {\displaystyle F_{n}} строго возрастает для любого n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Следовательно, определена её обратная функция F n − 1 {\displaystyle F_{n}^{-1}} , и
- Функция F n − 1 {\displaystyle F_{n}^{-1}} не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
Аппроксимация квантилей
Для получения приближенных значений квантилей распределения хи-квадрат χ α , n 2 {\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}} существуют аппроксимации.
- Аппроксимация Корниша-Фишера[1]
χ α , n 2 = n + A n + B + C n + D n + E n n {\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n+A{\sqrt {n}}+B+{\frac {C}{\sqrt {n}}}+{\frac {D}{n}}+{\frac {E}{n{\sqrt {n}}}}} ,
где:
A = d 2 {\displaystyle A=d{\sqrt {2}}} ,
B = 2 3 ( d 2 − 1 ) {\displaystyle B={\frac {2}{3}}\left({{d}^{2}}-1\right)}
C = d ⋅ d 2 − 7 9 2 {\displaystyle C=d\cdot {\frac {{{d}^{2}}-7}{9{\sqrt {2}}}}}
D = − 6 d 4 + 14 d 2 − 32 405 {\displaystyle D=-{\frac {6{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}-32}{405}}}
E = d ⋅ 9 d 4 + 256 d 2 − 433 4860 2 {\displaystyle E=d\cdot {\frac {9{{d}^{4}}+256{{d}^{2}}-433}{4860{\sqrt {2}}}}}
d = 2.0637 ⋅ ( ln 1 1 − α − 0.16 ) 0.4274 − 1.5774 {\displaystyle d=2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{1-\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}-1.5774} при 0.5 ≤ α ≤ 0.999 {\displaystyle 0.5\leq \alpha \leq 0.999}
d = − 2.0637 ⋅ ( ln 1 α − 0.16 ) 0.4274 + 1.5774 {\displaystyle d=-2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}+1.5774} при 0.001 ≤ α 0.5 {\displaystyle 0.001\leq \alpha ,
где d определяется аналогично, а коэффициенты a, b,c приведены в таблице
a b c1.0000886 | -0.2237368 | -0.01513904 |
0.4713941 | 0.02607083 | -0.008986007 |
0.0001348028 | 0.01128186 | 0.02277679 |
-0.008553069 | -0.01153761 | -0.01323293 |
0.00312558 | 0.005169654 | -0.006950356 |
-0.0008426812 | 0.00253001 | 0.001060438 |
0.00009780499 | -0.001450117 | 0.001565326 |
Таблица квантилей
Нижеприведённая таблица получена с помощью функции chi2inv пакета MATLAB.
Также квантили можно получить с помощью других программных средств:
- пакет LibreOffice, электронная таблица Calc, функция CHIINV.
- библиотека scipy для языка python, функция scipy.stats.distributions.chi2.ppf
- встроенная функция в электронной таблице Excel : ХИ2ОБР или ХИ2.ОБР
- библиотека MathNet для .Net и Mono, метод MathNet.Numerics.Distributions.ChiSquared.InvCDF(n,a)
Чтобы получить значение χ α , n 2 {\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}} , необходимо найти строку, соответствующую нужному n {\displaystyle n} , и колонку, соответствующую нужному α {\displaystyle \alpha } . Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Например:
6,6349 | 5,0239 | 3,8415 | 2,7055 | 1,6424 | 1,0742 | 0,7083 | 0,4549 | 0,275 | 0,1485 | 0,0642 | 0,0158 | 0,0039 | 0,001 | 0,0002 |
9,2103 | 7,3778 | 5,9915 | 4,6052 | 3,2189 | 2,4079 | 1,8326 | 1,3863 | 1,0217 | 0,7133 | 0,4463 | 0,2107 | 0,1026 | 0,0506 | 0,0201 |
11,345 | 9,3484 | 7,8147 | 6,2514 | 4,6416 | 3,6649 | 2,9462 | 2,366 | 1,8692 | 1,4237 | 1,0052 | 0,5844 | 0,3518 | 0,2158 | 0,1148 |
13,277 | 11,143 | 9,4877 | 7,7794 | 5,9886 | 4,8784 | 4,0446 | 3,3567 | 2,7528 | 2,1947 | 1,6488 | 1,0636 | 0,7107 | 0,4844 | 0,2971 |
15,086 | 12,833 | 11,07 | 9,2364 | 7,2893 | 6,0644 | 5,1319 | 4,3515 | 3,6555 | 2,9999 | 2,3425 | 1,6103 | 1,1455 | 0,8312 | 0,5543 |
16,812 | 14,449 | 12,592 | 10,645 | 8,5581 | 7,2311 | 6,2108 | 5,3481 | 4,5702 | 3,8276 | 3,0701 | 2,2041 | 1,6354 | 1,2373 | 0,8721 |
18,475 | 16,013 | 14,067 | 12,017 | 9,8032 | 8,3834 | 7,2832 | 6,3458 | 5,4932 | 4,6713 | 3,8223 | 2,8331 | 2,1673 | 1,6899 | 1,239 |
20,09 | 17,535 | 15,507 | 13,362 | 11,03 | 9,5245 | 8,3505 | 7,3441 | 6,4226 | 5,5274 | 4,5936 | 3,4895 | 2,7326 | 2,1797 | 1,6465 |
21,666 | 19,023 | 16,919 | 14,684 | 12,242 | 10,656 | 9,4136 | 8,3428 | 7,357 | 6,3933 | 5,3801 | 4,1682 | 3,3251 | 2,7004 | 2,0879 |
23,209 | 20,483 | 18,307 | 15,987 | 13,442 | 11,781 | 10,473 | 9,3418 | 8,2955 | 7,2672 | 6,1791 | 4,8652 | 3,9403 | 3,247 | 2,5582 |
24,725 | 21,92 | 19,675 | 17,275 | 14,631 | 12,899 | 11,53 | 10,341 | 9,2373 | 8,1479 | 6,9887 | 5,5778 | 4,5748 | 3,8157 | 3,0535 |
26,217 | 23,337 | 21,026 | 18,549 | 15,812 | 14,011 | 12,584 | 11,34 | 10,182 | 9,0343 | 7,8073 | 6,3038 | 5,226 | 4,4038 | 3,5706 |
27,688 | 24,736 | 22,362 | 19,812 | 16,985 | 15,119 | 13,636 | 12,34 | 11,129 | 9,9257 | 8,6339 | 7,0415 | 5,8919 | 5,0088 | 4,1069 |
29,141 | 26,119 | 23,685 | 21,064 | 18,151 | 16,222 | 14,685 | 13,339 | 12,078 | 10,821 | 9,4673 | 7,7895 | 6,5706 | 5,6287 | 4,6604 |
30,578 | 27,488 | 24,996 | 22,307 | 19,311 | 17,322 | 15,733 | 14,339 | 13,03 | 11,721 | 10,307 | 8,5468 | 7,2609 | 6,2621 | 5,2293 |
32 | 28,845 | 26,296 | 23,542 | 20,465 | 18,418 | 16,78 | 15,338 | 13,983 | 12,624 | 11,152 | 9,3122 | 7,9616 | 6,9077 | 5,8122 |
33,409 | 30,191 | 27,587 | 24,769 | 21,615 | 19,511 | 17,824 | 16,338 | 14,937 | 13,531 | 12,002 | 10,085 | 8,6718 | 7,5642 | 6,4078 |
34,805 | 31,526 | 28,869 | 25,989 | 22,76 | 20,601 | 18,868 | 17,338 | 15,893 | 14,44 | 12,857 | 10,865 | 9,3905 | 8,2307 | 7,0149 |
36,191 | 32,852 | 30,144 | 27,204 | 23,9 | 21,689 | 19,91 | 18,338 | 16,85 | 15,352 | 13,716 | 11,651 | 10,117 | 8,9065 | 7,6327 |
37,566 | 34,17 | 31,41 | 28,412 | 25,038 | 22,775 | 20,951 | 19,337 | 17,809 | 16,266 | 14,578 | 12,443 | 10,851 | 9,5908 | 8,2604 |
38,932 | 35,479 | 32,671 | 29,615 | 26,171 | 23,858 | 21,991 | 20,337 | 18,768 | 17,182 | 15,445 | 13,24 | 11,591 | 10,283 | 8,8972 |
40,289 | 36,781 | 33,924 | 30,813 | 27,301 | 24,939 | 23,031 | 21,337 | 19,729 | 18,101 | 16,314 | 14,041 | 12,338 | 10,982 | 9,5425 |
41,638 | 38,076 | 35,172 | 32,007 | 28,429 | 26,018 | 24,069 | 22,337 | 20,69 | 19,021 | 17,187 | 14,848 | 13,091 | 11,689 | 10,196 |
42,98 | 39,364 | 36,415 | 33,196 | 29,553 | 27,096 | 25,106 | 23,337 | 21,652 | 19,943 | 18,062 | 15,659 | 13,848 | 12,401 | 10,856 |
44,314 | 40,646 | 37,652 | 34,382 | 30,675 | 28,172 | 26,143 | 24,337 | 22,616 | 20,867 | 18,94 | 16,473 | 14,611 | 13,12 | 11,524 |
45,642 | 41,923 | 38,885 | 35,563 | 31,795 | 29,246 | 27,179 | 25,336 | 23,579 | 21,792 | 19,82 | 17,292 | 15,379 | 13,844 | 12,198 |
46,963 | 43,195 | 40,113 | 36,741 | 32,912 | 30,319 | 28,214 | 26,336 | 24,544 | 22,719 | 20,703 | 18,114 | 16,151 | 14,573 | 12,879 |
48,278 | 44,461 | 41,337 | 37,916 | 34,027 | 31,391 | 29,249 | 27,336 | 25,509 | 23,647 | 21,588 | 18,939 | 16,928 | 15,308 | 13,565 |
49,588 | 45,722 | 42,557 | 39,087 | 35,139 | 32,461 | 30,283 | 28,336 | 26,475 | 24,577 | 22,475 | 19,768 | 17,708 | 16,047 | 14,256 |
50,892 | 46,979 | 43,773 | 40,256 | 36,25 | 33,53 | 31,316 | 29,336 | 27,442 | 25,508 | 23,364 | 20,599 | 18,493 | 16,791 | 14,953 |
52,191 | 48,232 | 44,985 | 41,422 | 37,359 | 34,598 | 32,349 | 30,336 | 28,409 | 26,44 | 24,255 | 21,434 | 19,281 | 17,539 | 15,655 |
53,486 | 49,48 | 46,194 | 42,585 | 38,466 | 35,665 | 33,381 | 31,336 | 29,376 | 27,373 | 25,148 | 22,271 | 20,072 | 18,291 | 16,362 |
54,776 | 50,725 | 47,4 | 43,745 | 39,572 | 36,731 | 34,413 | 32,336 | 30,344 | 28,307 | 26,042 | 23,11 | 20,867 | 19,047 | 17,074 |
56,061 | 51,966 | 48,602 | 44,903 | 40,676 | 37,795 | 35,444 | 33,336 | 31,313 | 29,242 | 26,938 | 23,952 | 21,664 | 19,806 | 17,789 |
57,342 | 53,203 | 49,802 | 46,059 | 41,778 | 38,859 | 36,475 | 34,336 | 32,282 | 30,178 | 27,836 | 24,797 | 22,465 | 20,569 | 18,509 |
58,619 | 54,437 | 50,998 | 47,212 | 42,879 | 39,922 | 37,505 | 35,336 | 33,252 | 31,115 | 28,735 | 25,643 | 23,269 | 21,336 | 19,233 |
59,893 | 55,668 | 52,192 | 48,363 | 43,978 | 40,984 | 38,535 | 36,336 | 34,222 | 32,053 | 29,635 | 26,492 | 24,075 | 22,106 | 19,96 |
61,162 | 56,896 | 53,384 | 49,513 | 45,076 | 42,045 | 39,564 | 37,335 | 35,192 | 32,992 | 30,537 | 27,343 | 24,884 | 22,878 | 20,691 |
62,428 | 58,12 | 54,572 | 50,66 | 46,173 | 43,105 | 40,593 | 38,335 | 36,163 | 33,932 | 31,441 | 28,196 | 25,695 | 23,654 | 21,426 |
63,691 | 59,342 | 55,758 | 51,805 | 47,269 | 44,165 | 41,622 | 39,335 | 37,134 | 34,872 | 32,345 | 29,051 | 26,509 | 24,433 | 22,164 |
64,95 | 60,561 | 56,942 | 52,949 | 48,363 | 45,224 | 42,651 | 40,335 | 38,105 | 35,813 | 33,251 | 29,907 | 27,326 | 25,215 | 22,906 |
66,206 | 61,777 | 58,124 | 54,09 | 49,456 | 46,282 | 43,679 | 41,335 | 39,077 | 36,755 | 34,157 | 30,765 | 28,144 | 25,999 | 23,65 |
67,459 | 62,99 | 59,304 | 55,23 | 50,548 | 47,339 | 44,706 | 42,335 | 40,05 | 37,698 | 35,065 | 31,625 | 28,965 | 26,785 | 24,398 |
68,71 | 64,201 | 60,481 | 56,369 | 51,639 | 48,396 | 45,734 | 43,335 | 41,022 | 38,641 | 35,974 | 32,487 | 29,787 | 27,575 | 25,148 |
69,957 | 65,41 | 61,656 | 57,505 | 52,729 | 49,452 | 46,761 | 44,335 | 41,995 | 39,585 | 36,884 | 33,35 | 30,612 | 28,366 | 25,901 |
71,201 | 66,617 | 62,83 | 58,641 | 53,818 | 50,507 | 47,787 | 45,335 | 42,968 | 40,529 | 37,795 | 34,215 | 31,439 | 29,16 | 26,657 |
72,443 | 67,821 | 64,001 | 59,774 | 54,906 | 51,562 | 48,814 | 46,335 | 43,942 | 41,474 | 38,708 | 35,081 | 32,268 | 29,956 | 27,416 |
73,683 | 69,023 | 65,171 | 60,907 | 55,993 | 52,616 | 49,84 | 47,335 | 44,915 | 42,42 | 39,621 | 35,949 | 33,098 | 30,755 | 28,177 |
74,919 | 70,222 | 66,339 | 62,038 | 57,079 | 53,67 | 50,866 | 48,335 | 45,889 | 43,366 | 40,534 | 36,818 | 33,93 | 31,555 | 28,941 |
76,154 | 71,42 | 67,505 | 63,167 | 58,164 | 54,723 | 51,892 | 49,335 | 46,864 | 44,313 | 41,449 | 37,689 | 34,764 | 32,357 | 29,707 |
ru.wikipedia.org
Читайте также
- Таблица значений критерия стьюдента t критерия
- Разряды наречий по значению таблица с примерами
- Таблица значений функции
- Таблица критических значений спирмена
- Таблица критических значений манна уитни
- Таблица значений интегральной функции лапласа
- Аутентичность значение слова
- Чувак значение слова с еврейского
- 7 Треф значение
- Славянские имена мальчиков и их значение
- Барыга значение слова википедия
- Амбициозный значение слова