t-критерий Стьюдента для зависимых выборок
Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые зависимые выборки, отличаются друг от друга. Допущение зависимости чаще всего значит, что признак измерен на одной и той же выборке дважды, например, до воздействия и после него. В общем же случае каждому представителю одной выборки поставлен в соответствие представитель из другой выборки (они попарно объединены) так, что два ряда данных положительно коррелируют друг с другом. Более слабые виды зависимости выборок: выборка 1 — мужья, выборка 2 — их жены; выборка 1 — годовалые дети, выборка 2 составлена из близнецов детей выборки 1, и т. д.
Проверяемая статистическая гипотеза, как и в предыдущем случае, Н0: М1 = М2 (средние значения в выборках 1 и 2 равны).При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что М1 больше (меньше) М2.
Исходные предположения для статистической проверки:
□ каждому представителю одной выборки (из одной генеральной совокупности) поставлен в соответствие представитель другой выборки (из другой генеральной совокупности);
□ данные двух выборок положительно коррелируют (образуют пары);
□ распределение изучаемого признака и в той и другой выборке соответствует нормальному закону.
Структура исходных данных: имеется по два значения изучаемого признака для каждого объекта (для каждой пары).
Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке должно существенно не отличаться от нормального; данные двух измерений, соответствующих той и другой выборке, положительно коррелируют.
Альтернативы: критерий Т-Вилкоксона, если распределение хотя бы для одной выборки существенно отличается от нормального; критерий t-Стьюдента для независимых выборок — если данные для двух выборок не коррелируют положительно.
Формула для эмпирического значения критерия t-Стьюдента отражает тот факт, что единицей анализа различий является разность (сдвиг) значений признака для каждой пары наблюдений. Соответственно, для каждой из N пар значений признака сначала вычисляется разность di = х1i - x2i.
(3)где Md – средняя разность значений; σd – стандартное отклонение разностей.
Пример расчета:
Предположим, в ходе проверки эффективности тренинга каждому из 8 членов группы задавался вопрос «Насколько часто твое мнение совпадаете мнением группы?» — дважды, до и после тренинга. Для ответов использовалась 10-балльная шкала: 1 — никогда, 5 — в половине случаев, 10 — всегда. Проверялась гипотеза о том, что в результате тренинга самооценка конформизма (стремления быть как другие в группе) участников возрастет (α = 0,05). Составим таблицу для промежуточных вычислений (таблица 3).
Таблица 3
Среднее арифметической для разности Md = (-6)/8= -0,75. Вычтем это значение из каждого d (предпоследний столбец таблицы).
Формула для стандартного отклонения отличается лишь тем, что вместо Х в ней фигурирует d.Подставляем все нужные значения, получаем
σd = = 0,886.
Ш а г 1. Вычисляем эмпирическое значение критерия по формуле (3): средняя разность Md = -0,75; стандартное отклонение σd = 0,886; tэ = 2,39; df =7.
Ш а г 2. Определяем по таблице критических значений критерия t-Стьюдента р-уровень значимости. Для df = 7 эмпирическое значение находится между критическими для р = 0,05 и р — 0,01. Следовательно, р < 0,05.
df | Р | ||
0,05 | 0,01 | 0,001 | |
2,365 | 3,499 | 5,408 |
Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистическая гипотеза о равенстве средних значений отклоняется. Вывод: показатель самооценки конформизма участников после тренинга увеличился статистически достоверно (на уровне значимости р < 0,05).
К параметрическим методам относится и сравнение дисперсий двух выборок по критерию F-Фишера.Иногда этот метод приводит к ценным содержательным выводам, а в случае сравнения средних для независимых выборок сравнение дисперсий является обязательной процедурой.
Для вычисления Fэмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе.
Сравнение дисперсий. Метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отличаются друг от друга. Проверяемая статистическая гипотеза Н0: σ12 = σ22 (дисперсия в выборке 1 равна дисперсии в выборке 2). При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что одна дисперсия больше другой.
Исходные предположения: две выборки извлекаются случайно из разных генеральных совокупностей с нормальным распределением изучаемого признака.
Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (испытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых выборок.
Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке существенно не отличаются от нормального.
Альтернатива методу: критерий Ливена (Levene'sTest), применение которого не требует проверки предположения о нормальности (используется в программе SPSS).
Формула для эмпирического значения критерия F-Фишера:
(4)
где σ12 — большая дисперсия, a σ22— меньшая дисперсия. Так как заранее не известно, какая дисперсия больше, то для определения р-уровня применяется Таблица критических значений для ненаправленных альтернатив. Если Fэ > FKp для соответствующего числа степеней свободы, то р < 0,05 и статистическую гипотезу о равенстве дисперсий можно отклонить (для α = 0,05).
Пример расчета:
Детям давались обычные арифметические задания, после чего одной случайно выбранной половине учащихся сообщали, что они не выдержали испытания, а остальным — обратное. Затем у каждого ребенка спрашивали, сколько секунд ему потребовалось бы для решения аналогичной задачи. Экспериментатор вычислял разность между называемым ребенком временем и результатом выполненного задания (в сек.). Ожидалось, что сообщение о неудаче вызовет некоторую неадекватность самооценки ребенка. Проверяемая гипотеза (на уровне α = 0,005) состояла в том, что дисперсия совокупности самооценок не зависит от сообщений об удаче или неудаче (Н0: σ12=σ22).
Были получены следующие данные:
Ш а г 1. Вычислим эмпирическое значение критерия и числа степеней свободы по формулам (4):
Шаг 2. По таблице критических значений критерия f-Фишера для ненаправленных альтернатив находим критическое значение для dfчисл = 11; dfзнам = 11. Однако критическое значение есть только для dfчисл = 10 и dfзнам = 12. Большее число степеней свободы брать нельзя, поэтому берем критическое значение для dfчисл = 10: Для р = 0,05 FKp = 3,526; для р = 0,01 FKp = 5,418.
Ш а г 3. Принятие статистического решения и содержательный вывод. Поскольку эмпирическое значение превышает критическое значение для р = 0,01 (и тем более — для р = 0,05), то в данном случае р < 0,01 и принимается альтернативная гипотеза: дисперсия в группе 1 превышает дисперсию в группе 2 (р < 0,01). Следовательно, после сообщения о неудаче неадекватность самооценки выше, чем после сообщения об удаче.
studopedia.ru
/ практикум-статистика / справочные материалы / значения t-критерия стьюдента
Значениеt-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01
ν |
|
ν |
|
||||
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
||
1 |
6,3138 |
12,706 |
63,657 |
18 |
1,7341 |
2,1009 |
2,8784 |
2 |
2,9200 |
4,3027 |
9,9248 |
19 |
1,7291 |
2,0930 |
2,8609 |
3 |
2,3534 |
3,1825 |
5,8409 |
20 |
1,7247 |
2,0860 |
2,8453 |
4 |
2,1318 |
2,7764 |
4,6041 |
21 |
1,7207 |
2,0796 |
2,8314 |
5 |
2,0150 |
2,5706 |
4,0321 |
22 |
1,7171 |
2,0739 |
2,8188 |
6 |
1,9432 |
2,4469 |
3,7074 |
23 |
1,7139 |
2,0687 |
2,8073 |
7 |
1,8946 |
2,3646 |
3,4995 |
24 |
1,7109 |
2,0639 |
2,7969 |
8 |
1,8595 |
2,3060 |
3,3554 |
25 |
1,7081 |
2,0595 |
2,7874 |
9 |
1,8331 |
2,2622 |
3,2498 |
26 |
1,7056 |
2,0555 |
2,7757 |
10 |
1,8125 |
2,2281 |
3,1693 |
27 |
1,7033 |
2,0518 |
2,7707 |
11 |
1,7959 |
2,2010 |
3,1058 |
28 |
1,7011 |
2,0484 |
2,7633 |
12 |
1,7823 |
2,1788 |
3,0545 |
29 |
1,6991 |
2,0452 |
2,7564 |
13 |
1,7709 |
2,1604 |
3,0123 |
30 |
1,6973 |
2,0423 |
2,7500 |
14 |
1,7613 |
2,1448 |
2,9768 |
40 |
1,6839 |
2,0211 |
2,7045 |
15 |
1,7530 |
2,1315 |
2,9467 |
60 |
1,6707 |
2,0003 |
2,6603 |
16 |
1,7459 |
2,1199 |
2,9208 |
120 |
1,6577 |
1,9799 |
2,6174 |
17 |
1,7396 |
2,1098 |
2,8982 |
|
1,6449 |
1,9600 |
2,5758 |
ν – степени свободы вариации
StudFiles.ru
Стандартные значения критерия Стьюдента
Число степеней свободы |
Уровни значимости |
Число степеней свободы |
Уровни значимости |
||||||
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |
12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 |
63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 |
636,62 31,60 12,94 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,49 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 |
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 60 120 ¥ |
2,09 2,08 2,07 2,06 2,06 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 |
2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 |
3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 |
Таблица XI
Стандартные значения критерия Фишера, используемые для оценки достоверности различий между двумя выборками
Степени свободы (n) |
Уровень значимости |
Степени свободы (n) |
Уровень значимости |
||||
0,95 |
0,99 |
0,999 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
||
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,22 4,21 |
34,12 21,20 16,26 13,74 12,25 11,26 10,56 10,04 9,65 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,28 8,18 8,10 8,02 7,94 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 |
167,5 74,1 47,0 35,5 29,2 25,4 22,9 21,0 19,7 18,6 17,8 17,1 16,6 16,1 15,7 15,4 15,1 14,8 14,6 14,4 14,2 14,0 13,9 13,7 13,6 |
28 29 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 55 60 65 70 80 100 125 150 200 400 1000 ¥ |
4,20 4,18 4,17 4,15 4,13 4,11 4,10 4,08 4,07 4,06 4,05 4,04 4,03 4,02 4,00 3,99 3,98 3,96 3,94 3,92 3,91 3,89 3,86 3,85 3,84 |
7,64 7,60 7,56 7,50 7,44 7,39 7,35 7,31 7,27 7,24 7,21 7,19 7,17 7,12 7,08 7,04 7,01 6,96 6,90 6,84 6,81 6,76 6,70 6,66 6,64 |
13,5 13,4 13,3 13,2 13,1 13,0 12,9 12,8 12,7 12,5 12,4 12,3 12,2 12,1 12,0 11,9 11,6 11,5 11,4 11,3 11,2 11,0 10,9 10,8 |
Таблица XII
StudFiles.ru
t-Критерий Стьюдента
t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.
t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмешенной оценки дисперсии.
История
Данный критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
Требования к данным
Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.
Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного t {\displaystyle t} -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование t {\displaystyle t} -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение — N ( 0 , 1 ) {\displaystyle N(0,1)} , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном t {\displaystyle t} -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.
Одновыборочный t-критерий
Применяется для проверки нулевой гипотезы H 0 : E ( X ) = m {\displaystyle H_{0}:E(X)=m} о равенстве математического ожидания E ( X ) {\displaystyle E(X)} некоторому известному значению m {\displaystyle m} .
Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы E ( X ¯ ) = m {\displaystyle E({\overline {X}})=m} . С учётом предполагаемой независимости наблюдений V ( X ¯ ) = σ 2 / n {\displaystyle V({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n} . Используя несмещенную оценку дисперсии s X 2 = ∑ t = 1 n ( X t − X ¯ ) 2 / ( n − 1 ) {\displaystyle s_{X}^{2}=\sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}/(n-1)} получаем следующую t-статистику:
t = X ¯ − m s X / n {\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-m}{s_{X}/{\sqrt {n}}}}}
При нулевой гипотезе распределение этой статистики t ( n − 1 ) {\displaystyle t(n-1)} . Следовательно, при превышении значения статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.
Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок
Пусть имеются две независимые выборки объемами n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1}~,~n_{2}} нормально распределенных случайных величин X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},~X_{2}} . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенства математических ожиданий этих случайных величин H 0 : M 1 = M 2 {\displaystyle H_{0}:~M_{1}=M_{2}} .
Рассмотрим разность выборочных средних Δ = X ¯ 1 − X ¯ 2 {\displaystyle \Delta ={\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}} . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена E ( Δ ) = M 1 − M 2 = 0 {\displaystyle E(\Delta )=M_{1}-M_{2}=0} . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок: V ( Δ ) = σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 {\displaystyle V(\Delta )={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}} . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии s 2 = ∑ t = 1 n ( X t − X ¯ ) 2 n − 1 {\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n-1}}} получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних: s Δ 2 = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 {\displaystyle s_{\Delta }^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}} . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна
t = X ¯ 1 − X ¯ 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 {\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение t ( d f ) {\displaystyle t(df)} , где d f = ( s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2 ) 2 ( s 1 2 / n 1 ) 2 / ( n 1 − 1 ) + ( s 2 2 / n 2 ) 2 / ( n 2 − 1 ) {\displaystyle df={\frac {(s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}/(n_{1}-1)+(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}/(n_{2}-1)}}}
Случай одинаковой дисперсии
В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то
V ( Δ ) = σ 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) {\displaystyle V(\Delta )=\sigma ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}Тогда t-статистика равна:
t = X ¯ 1 − X ¯ 2 s X 1 n 1 + 1 n 2 , s X = ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 − 2 {\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{s_{X}{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}}~,~~s_{X}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}Эта статистика имеет распределение t ( n 1 + n 2 − 2 ) {\displaystyle t(n_{1}+n_{2}-2)}
Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок
Для вычисления эмпирического значения t {\displaystyle t} -критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:
t = M d s d / n {\displaystyle t={\frac {M_{d}}{s_{d}/{\sqrt {n}}}}}где M d {\displaystyle M_{d}} — средняя разность значений, s d {\displaystyle s_{d}} — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений
Эта статистика имеет распределение t ( n − 1 ) {\displaystyle t(n-1)} .
Проверка линейного ограничения на параметры линейной регрессии
С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оцененной обычным методом наименьших квадратов. Пусть необходимо проверить гипотезу H 0 : c T b = a {\displaystyle H_{0}:c^{T}b=a} . Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы E ( c T b ^ − a ) = c T E ( b ^ ) − a = 0 {\displaystyle E(c^{T}{\hat {b}}-a)=c^{T}E({\hat {b}})-a=0} . Здесь использовано свойство несмещенности МНК-оценок параметров модели E ( b ^ ) = b {\displaystyle E({\hat {b}})=b} . Кроме того, V ( c T b ^ − a ) = c T V ( b ^ ) c = σ 2 c T ( X T X ) − 1 c {\displaystyle V(c^{T}{\hat {b}}-a)=c^{T}V({\hat {b}})c=\sigma ^{2}c^{T}(X^{T}X)^{-1}c} . Используя вместо неизвестной дисперсии её несмещенную оценку s 2 = E S S / ( n − k ) {\displaystyle s^{2}=ESS/(n-k)} получаем следующую t-статистику:
t = c T b ^ − a s c T ( X T X ) − 1 c {\displaystyle t={\frac {c^{T}{\hat {b}}-a}{s{\sqrt {c^{T}(X^{T}X)^{-1}c}}}}}Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение t ( n − k ) {\displaystyle t(n-k)} , поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.
Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии
Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента b j {\displaystyle b_{j}} регрессии некоторому значению a {\displaystyle a} . В этом случае соответстующая t-статистика равна:
t = b ^ j − a s b ^ j {\displaystyle t={\frac {{\hat {b}}_{j}-a}{s_{{\hat {b}}_{j}}}}}где s b ^ j {\displaystyle s_{{\hat {b}}_{j}}} — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.
При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики — t ( n − k ) {\displaystyle t(n-k)} . Если значение статистики по абсолютной величине выше критического значения, то отличие коэффициента от a {\displaystyle a} является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению a {\displaystyle a} )
Замечание
Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому s 2 {\displaystyle s^{2}} регрессии это и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица X T X {\displaystyle X^{T}X} равна n {\displaystyle n} , а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведенное выше для общего случая.
Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1): y = a + b D {\displaystyle y=a+bD} . Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведенной для двухвыборочного теста.
Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведенной для двухвыборочного теста.
Непараметрические аналоги
Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна — Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона
Литература
Student. The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.
Ссылки
О критериях проверки гипотез об однородности средних на сайте Новосибирского государственного технического университета
ru.wikipedia.org
Читайте также
- Таблица критических значений пирсона
- Разряды наречий по значению таблица с примерами
- Таблица значений функции
- Таблица критических значений спирмена
- Таблица критических значений манна уитни
- Таблица значений интегральной функции лапласа
- Аутентичность значение слова
- Чувак значение слова с еврейского
- 7 Треф значение
- Славянские имена мальчиков и их значение
- Барыга значение слова википедия
- Амбициозный значение слова