Интегральная теорема Лапласа
Вновь предположим, что производится писпытаний, в каждом из которых вероятность появления события Апостоянна и равна р(0рРп (k1 , k2)того, что событие А появится в писпытаниях не менее k1и не более k2раз (для краткости будем говорить «от k1до k2раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (k1 , k2) того, что событие А появится в п испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу
(*)
где
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции.
Таблица для интеграла приведена в приложении 2.
В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений хи для х = 0; для х.
В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.
Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:
Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k1 до k2 раз, вычисляется по формуле:
Пример 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию, р=0,2; q=0,8; n=400; k1=70; k2=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
Таким образом, имеем
Р400(70, 100) = Ф(2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
По таблице приложения 2 находим:
Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25)=0,3944.
Искомая вероятность равна:
Р400 (70, 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
Задачи
1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:
а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.
Отв. а) Р6(4)=0,246; б) Р6(6)=0,26; в) Р6(0) = 0,000064.
2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.
Отв. Р = 1 – [Р5(0) + Р5(1)] = 0,472.
3. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
Отв. Р = 1 – [Р6(0) + Р6(1)] = 0,767.
4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.
Отв. Р = 1 – [Р8(0) + Р8(1)] = 0,19.
5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:
а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
Отв. а) Р = Р6(0) + Р6(1) = 7/64; б)Q = l – [Р6(0) + Р6(1)]=57/64.
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р=0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях (k≥1) равна 1-qk. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.
Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.
Отв. 0,9639.
7. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
Отв. Р400 (104) = 0,0006.
8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:
а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
Отв. а) Р100(70,80) = 2Ф(1,15) = 0,7498;
б) Р100(0; 70)= – Ф (1,15) + 0,5 = 0,1251.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица значений локальной функции Лапласа
0,0 | 0,3989 | 0,3989 | 0,3988 | 0,3986 | 0,3984 | 0,3982 | 0,3980 | 0,3977 | 0,3973 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,1 | 0,3970 | 0,3965 | 0,3961 | 0,3956 | 0,3951 | 0,3945 | 0,3939 | 0,3932 | 0,3925 | 0,3918 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,2 | 0,3910 | 0,3902 | 0,3894 | 0,3885 | 0,3876 | 0,3867 | 0,3857 | 0,3847 | 0,3836 | 0,3825 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,3 | 0,3814 | 0,3802 | 0,3790 | 0,3778 | 0,3765 | 0,3752 | 0,3739 | 0,3726 | 0,3712 | 0,3698 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,4 | 0,3683 | 0,3668 | 0,3652 | 0,3637 | 0,3621 | 0,3605 | 0,3589 | 0,3572 | 0,3555 | 0,3538 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,5 | 0,3521 | 0,3503 | 0,3485 | 0,3467 | 0,3448 | 0,3429 | 0,3410 | 0,3391 | 0,3372 | 0,3352 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,6 | 0,3332 | 0,3312 | 0,3292 | 0,3271 | 0,3251 | 0,3230 | 0,3209 | 0,3187 | 0,3166 | 0,3144 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,7 | 0,3123 | 0,3101 | 0,3079 | 0,3056 | 0,3034 | 0,3011 | 0,2989 | 0,2966 | 0,2943 | 0,2920 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,8 | 0,2897 | 0,2874 | 0,2850 | 0,2827 | 0,2803 | 0,2780 | 0,2756 | 0,2732 | 0,2709 | 0,2685 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,9 | 0,2661 | 0,2637 | 0,2613 | 0,2589 | 0,2565 | 0,2541 | 0,2516 | 0,2492 | 0,2468 | 0,2444 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,0 | 0,2420 | 0,2396 | 0,2371 | 0,2347 | 0,2323 | 0,2299 | 0,2275 | 0,2251 | 0,2227 | 0,2203 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,1 | 0,2179 | 0,2155 | 0,2131 | 0,2107 | 0,2083 | 0,2059 | 0,2036 | 0,2012 | 0,1989 | 0,1965 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,2 | 0,1942 | 0,1919 | 0,1895 | 0,1872 | 0,1849 | 0,1826 | 0,1804 | 0,1781 | 0,1758 | 0,1736 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,3 | 0,1714 | 0,1691 | 0,1669 | 0,1647 | 0,1626 | 0,1604 | 0,1582 | 0,1561 | 0,1539 | 0,1518 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,4 | 0,1497 | 0,1476 | 0,1456 | 0,1435 | 0,1415 | 0,1394 | 0,1374 | 0,1354 | 0,1334 | 0,1315 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,5 | 0,1295 | 0,1276 | 0,1257 | 0,1238 | 0,1219 | 0,1200 | 0,1182 | 0,1163 | 0,1145 | 0,1127 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,6 | 0,1109 | 0,1092 | 0,1074 | 0,1057 | 0,1040 | 0,1023 | 0,1006 | 0,0989 | 0,0973 | 0,0957 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,7 | 0,0940 | 0,0925 | 0,0909 | 0,0893 | 0,0878 | 0,0863 | 0,0848 | 0,0833 | 0,0818 | 0,0804 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,8 | 0,0790 | 0,0775 | 0,0761 | 0,0748 | 0,0734 | 0,0721 | 0,0707 | 0,0694 | 0,0681 | 0,0669 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,9 | 0,0656 | 0,0644 | 0,0632 | 0,0620 | 0,0608 | 0,0596 | 0,0584 | 0,0573 | 0,0562 | 0,0551 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,0 | 0,0540 | 0,0529 | 0,0519 | 0,0508 | 0,0498 | 0,0488 | 0,0478 | 0,0468 | 0,0459 | 0,0449 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,1 | 0,0440 | 0,0431 | 0,0422 | 0,0413 | 0,0404 | 0,0395 | 0,0387 | 0,0379 | 0,0371 | 0,0363 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,2 | 0,0353 | 0,0347 | 0,0339 | 0,0332 | 0,0325 | 0,0317 | 0,0310 | 0,0303 | 0,0297 | 0,0290 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,3 | 0,0283 | 0,0277 | 0,0270 | 0,0264 | 0,0258 | 0,0252 | 0,0246 | 0,0241 | 0,0235 | 0,0229 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,4 | 0,0224 | 0,0219 | 0,0213 | 0,0208 | 0,0203 | 0,0198 | 0,0194 | 0,0189 | 0,0184 | 0,0180 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,5 | 0,0175 | 0,0171 | 0,0167 | 0,0163 | 0,0158 | 0,0154 | 0,0151 | 0,0147 | 0,0143 | 0,0139 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,6 | 0,0136 | 0,0132 | 0,0129 | 0,0126 | 0,0122 | 0,0119 | 0,0116 | 0,0113 | 0,0110 | 0,0107 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,7 | 0,0104 | 0,0101 | 0,0099 | 0,0096 | 0,0093 | 0,0091 | 0,0088 | 0,0086 | 0,0084 | 0,0081 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,8 | 0,0079 | 0,0077 | 0,0075 | 0,0073 | 0,0071 | 0,0069 | 0,0067 | 0,0065 | 0,0063 | 0,0061 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2,9 | 0,0060 | 0,0058 | 0,0056 | 0,0055 | 0,0053 | 0,0051 | 0,0050 | 0,0048 | 0,0047 | 0,0046 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,0 | 0,0044 | 0,0043 | 0,0042 | 0,0040 | 0,0039 | 0,0038 | 0,0037 | 0,0036 | 0,0035 | 0,0034 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,1 | 0,0033 | 0,0032 | 0,0031 | 0,0030 | 0,0029 | 0,0028 | 0,0027 | 0,0026 | 0,0025 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,2 | 0,0024 | 0,0023 | 0,0022 | 0,0021 | 0,0020 | 0,0019 | 0,0018 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,3 | 0,0017 | 0,0016 | 0,0015 | 0,0014 | 0,0013 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,4 | 0,0012 | 0,0012 | 0,0011 | 0,0010 | 0,0010 | 0,0009 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,5 | 0,0009 | 0,0008 | 0,0008 | 0,0007 | 0,0007 | 0,0006 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,6 | 0,0006 | 0,0006 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0004 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,7 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0004 | 0,0003 | 0,0003 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,8 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,9 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0002 | 0,0001 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица значений интегральной функции Лапласа ![]()
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[1] Функцию φ(х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если
studopedia.ru
/ таблица значений функции Лапласа

Сайт www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике, теории вероятностей
Функция Лапласа |
y =Φ(x)= |
1 |
∫x |
e−t2 / 2dt |
|||||||
2π |
|||||||||||
0 |
|||||||||||
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
||||
0 |
0 |
||||||||||
0,01 |
0,004 |
0,13 |
0,0517 |
0,25 |
0,0987 |
0,37 |
0,1443 |
||||
0,02 |
0,008 |
0,14 |
0,0557 |
0,26 |
0,1026 |
0,38 |
0,148 |
||||
0,03 |
0,012 |
0,15 |
0,0596 |
0,27 |
0,1064 |
0,39 |
0,1517 |
||||
0,04 |
0,016 |
0,16 |
0,0636 |
0,28 |
0,1103 |
0,4 |
0,1554 |
||||
0,05 |
0,0199 |
0,17 |
0,0675 |
0,29 |
0,1141 |
0,41 |
0,1591 |
||||
0,06 |
0,0239 |
0,18 |
0,0714 |
0,3 |
0,1179 |
0,42 |
0,1628 |
||||
0,07 |
0,0279 |
0,19 |
0,0753 |
0,31 |
0,1217 |
0,43 |
0,1664 |
||||
0,08 |
0,0319 |
0,2 |
0,0793 |
0,32 |
0,1255 |
0,44 |
0,17 |
||||
0,09 |
0,0359 |
0,21 |
0,0832 |
0,33 |
0,1293 |
0,45 |
0,1736 |
||||
0,1 |
0,0398 |
0,22 |
0,0871 |
0,34 |
0,1331 |
0,46 |
0,1772 |
||||
0,11 |
0,0438 |
0,23 |
0,091 |
0,35 |
0,1368 |
0,47 |
0,1808 |
||||
0,12 |
0,0478 |
0,24 |
0,0948 |
0,36 |
0,1406 |
0,48 |
0,1844 |
||||
0,49 |
0,1879 |
1,02 |
0,3461 |
1,55 |
0,4394 |
2,16 |
0,4846 |
||||
0,5 |
0,1915 |
1,03 |
0,3485 |
1,56 |
0,4406 |
2,18 |
4854 |
||||
0,51 |
0,195 |
1,04 |
0,3508 |
1,57 |
0,4418 |
2,2 |
0,4861 |
||||
0,52 |
0,1985 |
1,05 |
0,3531 |
1,58 |
0,4429 |
2,22 |
0,4868 |
||||
0,53 |
0,2019 |
1,06 |
0,3554 |
1,59 |
0,4441 |
2,24 |
0,4875 |
||||
0,54 |
0,2054 |
1,07 |
0,3577 |
1,6 |
0,4452 |
2,26 |
0,4881 |
||||
0,55 |
0,2088 |
1,08 |
0,3599 |
1,61 |
0,4463 |
2,28 |
0,4887 |
||||
0,56 |
0,2123 |
1,09 |
0,3621 |
1,62 |
0,4474 |
2,3 |
0,4893 |
||||
0,57 |
0,2157 |
1,1 |
0,3643 |
1,63 |
0,4484 |
2,32 |
0,4898 |
||||
0,58 |
0,219 |
1,11 |
0,3665 |
1,64 |
0,4495 |
2,34 |
0,4904 |
||||
0,59 |
0,2224 |
1,12 |
0,3686 |
1,65 |
0,4505 |
2,36 |
0,4908 |
||||
0,6 |
0,2257 |
1,13 |
0,3708 |
1,66 |
0,4515 |
2,38 |
0,4913 |
||||
0,61 |
0,2291 |
1,14 |
0,3729 |
1,67 |
0,4525 |
2,4 |
0,4918 |
||||
0,62 |
0,2324 |
1,15 |
0,3749 |
1,68 |
0,4535 |
2,42 |
0,4922 |
||||
0,63 |
0,2357 |
1,16 |
0,377 |
1,69 |
0,4545 |
2,44 |
0,4927 |
||||
0,64 |
0,2389 |
1,17 |
0,379 |
1,7 |
0,4554 |
2,46 |
0,4931 |
||||
0,65 |
0,2422 |
1,18 |
0,381 |
1,71 |
0,4564 |
2,48 |
0,4934 |
||||
0,66 |
0,2454 |
1,19 |
0,383 |
1,72 |
0,4573 |
2,5 |
0,4938 |
||||
0,67 |
0,2486 |
1,2 |
0,3849 |
1,73 |
0,4582 |
2,52 |
0,4941 |
||||
0,68 |
0,2517 |
1,21 |
0,3869 |
1,74 |
0,4591 |
2,54 |
0,4945 |
||||
0,69 |
0,2549 |
1,22 |
0,3888 |
1,75 |
0,4599 |
2,56 |
0,4948 |
||||
0,7 |
0,258 |
1,23 |
0,3907 |
1,76 |
0,4608 |
2,58 |
0,4951 |
||||
0,71 |
0,2611 |
1,24 |
0,3925 |
1,77 |
0,4616 |
2,6 |
0,4953 |
||||
0,72 |
0,2642 |
1,25 |
0,3914 |
1,78 |
0,4625 |
2,62 |
0,4956 |
||||
0,73 |
0,2673 |
1,26 |
0,3962 |
1,79 |
0,4633 |
2,64 |
0,4959 |
||||
0,74 |
0.2703 |
1,27 |
0,398 |
1,8 |
0,4641 |
2,66 |
0,4961 |
||||
0,75 |
0,2734 |
1,28 |
0,3997 |
1,81 |
0,4649 |
2,68 |
0,4963 |
||||
0,76 |
0,2764 |
1,29 |
0,4015 |
1,82 |
0,4656 |
2,7 |
0,4965 |
||||
0,77 |
0,2794 |
1,3 |
0,4032 |
1,83 |
0,4664 |
2,72 |
0,4967 |
||||
0,78 |
0,2823 |
1,31 |
0,4049 |
1,84 |
0,4671 |
2,74 |
0,4969 |
Сайт www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике, теории вероятностей
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
0,79 |
0,2852 |
1,32 |
0,4066 |
1,85 |
0,4678 |
2,76 |
0,4971 |
0,8 |
0,2881 |
1,33 |
0,4082 |
1,86 |
0,4686 |
2,78 |
0,4973 |
0,81 |
0,291 |
1,34 |
0,4099 |
1,87 |
0,4693 |
2,8 |
0,4974 |
0,82 |
0,2939 |
1,35 |
0,4115 |
1,88 |
0,4699 |
2,82 |
0,4976 |
0,83 |
0,2967 |
1,36 |
0,4131 |
1,89 |
0,4706 |
2,84 |
0,4977 |
0.84 |
0,2995 |
1,37 |
0,4147 |
1,9 |
0,4713 |
2,86 |
0,4979 |
0,85 |
0,3023 |
1,38 |
0,4162 |
1,91 |
0,4719 |
2,88 |
0,498 |
0,86 |
0,3051 |
1,39 |
0,4177 |
1,92 |
0,4726 |
2,9 |
0,4981 |
0,87 |
0,3078 |
1,4 |
0,4192 |
1,93 |
0,4732 |
2,92 |
0,4982 |
0,88 |
0,3106 |
1,41 |
0,4207 |
1,94 |
0,4738 |
2,94 |
0,4984 |
0,89 |
0,3133 |
1,42 |
0,4222 |
1,95 |
0,4744 |
2,96 |
0,4985 |
0,9 |
0,3159 |
1,43 |
0,4236 |
1,96 |
0,475 |
2,98 |
0,4986 |
0,91 |
0,3186 |
1,44 |
0,4251 |
1,97 |
0,4756 |
3 |
0,49865 |
0,92 |
0,3112 |
1,45 |
0,4265 |
1,98 |
0,4761 |
3,2 |
0,49931 |
0,93 |
0,3238 |
1,46 |
0,4279 |
1,99 |
0,4767 |
3,4 |
0,49966 |
0,94 |
0,3264 |
1,47 |
0,4292 |
2 |
0,4772 |
3,6 |
0,499841 |
0,95 |
0,3289 |
1,48 |
0,4306 |
2,02 |
0,4783 |
3,8 |
0,499928 |
0,96 |
0,3315 |
1,49 |
0,4319 |
2,04 |
0,4793 |
4 |
0,499968 |
0,97 |
0,334 |
1,5 |
0,4332 |
2,06 |
0,4803 |
4,5 |
0,499997 |
0,98 |
0,3365 |
1,51 |
0,4345 |
2,08 |
0,4812 |
5 |
0,5 |
0,99 |
0,3389 |
1,52 |
0,4357 |
2,1 |
0,4821 |
||
1 |
0,3413 |
1,53 |
0,437 |
2,12 |
0,483 |
||
1,01 |
0,3438 |
1,54 |
0,4382 |
2,14 |
0,4838 |
StudFiles.ru
Значение функции Лапласа .
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
0,00 |
0,00000 |
0,50 |
0,19146 |
1,00 |
0,34134 |
1,50 |
0,43319 |
2,00 |
0,47725 |
3,00 |
0,49865 |
0,01 |
0,00399 |
0,51 |
0,19497 |
1,01 |
0,34375 |
1,51 |
0,43448 |
2,02 |
0,47831 |
3,05 |
0,49886 |
0,02 |
0,00798 |
0,52 |
0,19847 |
1,02 |
0,34614 |
1,52 |
0,43574 |
2,04 |
0,47932 |
3,10 |
0,49903 |
0,03 |
0,01197 |
0,53 |
0,20194 |
1,03 |
0,34849 |
1,53 |
0,43699 |
2,06 |
0,48030 |
3,15 |
0,49918 |
0,04 |
0,01595 |
0,54 |
0,20540 |
1,04 |
0,35083 |
1,54 |
0,43822 |
2,08 |
0,48124 |
3,20 |
0,49931 |
0,05 |
0,01994 |
0,55 |
0,20884 |
1,05 |
0,35314 |
1,55 |
0,43943 |
2,10 |
0,48214 |
3,25 |
0,49942 |
0,06 |
0,02392 |
0,56 |
0,21226 |
1,06 |
0,35543 |
1,56 |
0,44062 |
2,12 |
0,48300 |
3,30 |
0,49952 |
0,07 |
0,02790 |
0,57 |
0,21566 |
1,07 |
0,35769 |
1,57 |
0,44179 |
2,14 |
0,48382 |
3,35 |
0,49960 |
0,08 |
0,03188 |
0,58 |
0,21904 |
1,08 |
0,35993 |
1,58 |
0,44295 |
2,16 |
0,48461 |
3,40 |
0,49966 |
0,09 |
0,03586 |
0,59 |
0,22240 |
1,09 |
0,36214 |
1,59 |
0,44408 |
2,18 |
0,48537 |
3,45 |
0,49972 |
0,10 |
0,03983 |
0,60 |
0,22575 |
1,10 |
0,36433 |
1,60 |
0,44520 |
2,20 |
0,48610 |
3,50 |
0,49977 |
0,11 |
0,04380 |
0,61 |
0,22907 |
1,11 |
0,36650 |
1,61 |
0,44630 |
2,22 |
0,48679 |
3,55 |
0,49981 |
0,12 |
0,04776 |
0,62 |
0,23237 |
1,12 |
0,36864 |
1,62 |
0,44738 |
2,24 |
0,48745 |
3,60 |
0,49984 |
0,13 |
0,05172 |
0,63 |
0,23565 |
1,13 |
0,37076 |
1,63 |
0,44845 |
2,26 |
0,48809 |
3,65 |
0,49987 |
0,14 |
0,05567 |
0,64 |
0,23891 |
1,14 |
0,37286 |
1,64 |
0,44950 |
2,28 |
0,48870 |
3,70 |
0,49989 |
0,15 |
0,05962 |
0,65 |
0,24215 |
1,15 |
0,37493 |
1,65 |
0,45053 |
2,30 |
0,48928 |
3,75 |
0,49991 |
0,16 |
0,06356 |
0,66 |
0,24537 |
1,16 |
0,37698 |
1,66 |
0,45154 |
2,32 |
0,48983 |
3,80 |
0,49993 |
0,17 |
0,06749 |
0,67 |
0,24857 |
1,17 |
0,37900 |
1,67 |
0,45254 |
2,34 |
0,49036 |
3,85 |
0,49994 |
0,18 |
0,07142 |
0,68 |
0,25175 |
1,18 |
0,38100 |
1,68 |
0,45352 |
2,36 |
0,49086 |
3,90 |
0,49995 |
0,19 |
0,07535 |
0,69 |
0,25490 |
1,19 |
0,38298 |
1,69 |
0,45449 |
2,38 |
0,49134 |
3,95 |
0,49996 |
0,20 |
0,07926 |
0,70 |
0,25804 |
1,20 |
0,38493 |
1,70 |
0,45543 |
2,40 |
0,49180 |
4,00 |
0,49997 |
0,21 |
0,08317 |
0,71 |
0,26115 |
1,21 |
0,38686 |
1,71 |
0,45637 |
2,42 |
0,49224 |
4,05 |
0,49997 |
0,22 |
0,08706 |
0,72 |
0,26424 |
1,22 |
0,38877 |
1,72 |
0,45728 |
2,44 |
0,49266 |
4,10 |
0,49998 |
0,23 |
0,09095 |
0,73 |
0,26730 |
1,23 |
0,39065 |
1,73 |
0,45818 |
2,46 |
0,49305 |
4,15 |
0,49998 |
0,24 |
0,09483 |
0,74 |
0,27035 |
1,24 |
0,39251 |
1,74 |
0,45907 |
2,48 |
0,49343 |
4,20 |
0,49999 |
0,25 |
0,09871 |
0,75 |
0,27337 |
1,25 |
0,39435 |
1,75 |
0,45994 |
2,50 |
0,49379 |
4,25 |
0,49999 |
0,26 |
0,10257 |
0,76 |
0,27637 |
1,26 |
0,39617 |
1,76 |
0,46080 |
2,52 |
0,49413 |
4,30 |
0,49999 |
0,27 |
0,10642 |
0,77 |
0,27935 |
1,27 |
0,39796 |
1,77 |
0,46164 |
2,54 |
0,49446 |
4,35 |
0,49999 |
0,28 |
0,11026 |
0,78 |
0,28230 |
1,28 |
0,39973 |
1,78 |
0,46246 |
2,56 |
0,49477 |
4,40 |
0,49999 |
0,29 |
0,11409 |
0,79 |
0,28524 |
1,29 |
0,40147 |
1,79 |
0,46327 |
2,58 |
0,49506 |
4,45 |
0,50000 |
0,30 |
0,11791 |
0,80 |
0,28814 |
1,30 |
0,40320 |
1,80 |
0,46407 |
2,60 |
0,49534 |
4,50 |
0,50000 |
0,31 |
0,12172 |
0,81 |
0,29103 |
1,31 |
0,40490 |
1,81 |
0,46485 |
2,62 |
0,49560 |
4,55 |
0,50000 |
0,32 |
0,12552 |
0,82 |
0,29389 |
1,32 |
0,40658 |
1,82 |
0,46562 |
2,64 |
0,49585 |
4,60 |
0,50000 |
0,33 |
0,12930 |
0,83 |
0,29673 |
1,33 |
0,40824 |
1,83 |
0,46638 |
2,66 |
0,49609 |
4,65 |
0,50000 |
0,34 |
0,13307 |
0,84 |
0,29955 |
1,34 |
0,40988 |
1,84 |
0,46712 |
2,68 |
0,49632 |
4,70 |
0,50000 |
0,35 |
0,13683 |
0,85 |
0,30234 |
1,35 |
0,41149 |
1,85 |
0,46784 |
2,70 |
0,49653 |
4,75 |
0,50000 |
0,36 |
0,14058 |
0,86 |
0,30511 |
1,36 |
0,41309 |
1,86 |
0,46856 |
2,72 |
0,49674 |
4,80 |
0,50000 |
0,37 |
0,14431 |
0,87 |
0,30785 |
1,37 |
0,41466 |
1,87 |
0,46926 |
2,74 |
0,49693 |
4,85 |
0,50000 |
0,38 |
0,14803 |
0,88 |
0,31057 |
1,38 |
0,41621 |
1,88 |
0,46995 |
2,76 |
0,49711 |
4,90 |
0,50000 |
0,39 |
0,15173 |
0,89 |
0,31327 |
1,39 |
0,41774 |
1,89 |
0,47062 |
2,78 |
0,49728 |
4,95 |
0,50000 |
0,40 |
0,15542 |
0,90 |
0,31594 |
1,40 |
0,41924 |
1,90 |
0,47128 |
2,80 |
0,49744 |
5,00 |
0,50000 |
0,41 |
0,15910 |
0,91 |
0,31859 |
1,41 |
0,42073 |
1,91 |
0,47193 |
2,82 |
0,49760 |
||
0,42 |
0,16276 |
0,92 |
0,32121 |
1,42 |
0,42220 |
1,92 |
0,47257 |
2,84 |
0,49774 |
||
0,43 |
0,16640 |
0,93 |
0,32381 |
1,43 |
0,42364 |
1,93 |
0,47320 |
2,86 |
0,49788 |
||
0,44 |
0,17003 |
0,94 |
0,32639 |
1,44 |
0,42507 |
1,94 |
0,47381 |
2,88 |
0,49801 |
||
0,45 |
0,17364 |
0,95 |
0,32894 |
1,45 |
0,42647 |
1,95 |
0,47441 |
2,90 |
0,49813 |
||
0,46 |
0,17724 |
0,96 |
0,33147 |
1,46 |
0,42785 |
1,96 |
0,47500 |
2,92 |
0,49825 |
||
0,47 |
0,18082 |
0,97 |
0,33398 |
1,47 |
0,42922 |
1,97 |
0,47558 |
2,94 |
0,49836 |
||
0,48 |
0,18439 |
0,98 |
0,33646 |
1,48 |
0,43056 |
1,98 |
0,47615 |
2,96 |
0,49846 |
||
0,49 |
0,18793 |
0,99 |
0,33891 |
1,49 |
0,43189 |
1,99 |
0,47670 |
2,98 |
0,49856 |
Для отрицательных значений Ф(-X)=-Ф(X). Для x>5 Ф(X)=0,5 . В Excel значение функции Лапласа можно вычислить с помощью формулы =НОРМСТРАСП(число) - 0,5. По своему логическому содержанию функция Лапласа Ф(X) близка к интегральной функции нормального распределения F(X), их взаимосвязь: Ф(X) = F(X) - 0,5
StudFiles.ru
2. Таблица значений большой функции Лапласа
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
0,00 |
0,0000 |
0,33 |
0,1293 |
0,66 |
0,2454 |
0,99 |
0,3389 |
0,01 |
0,0040 |
0,34 |
0,1331 |
0,67 |
0,2486 |
1,00 |
0,3413 |
0,02 |
0,0080 |
0,35 |
0,1368 |
0,68 |
0,2517 |
1,01 |
0,3438 |
0,03 |
0,0120 |
0,36 |
0,1406 |
0,69 |
0,2549 |
1,02 |
0,3461 |
0,04 |
0,0160 |
0,37 |
0,1443 |
0,70 |
0,2580 |
1,03 |
0,3485 |
0,05 |
0,0199 |
0,38 |
0,1480 |
0,71 |
0,2611 |
1,04 |
0,3508 |
0,06 |
0,0239 |
0,39 |
0,1517 |
0,72 |
0,2642 |
1,05 |
0,3531 |
0,07 |
0,0279 |
0,40 |
0,1554 |
0,73 |
0,2673 |
1,06 |
0,3554 |
0,08 |
0,0319 |
0,41 |
0,1591 |
0,74 |
0,2703 |
1,07 |
0,3577 |
0,09 |
0,0359 |
0,42 |
0,1628 |
0,75 |
0,2734 |
1,08 |
0,3599 |
0,10 |
0,0398 |
0,43 |
0,1664 |
0,76 |
0,2764 |
1,09 |
0,3621 |
0,11 |
0,0438 |
0,44 |
0,1700 |
0,77 |
0,2794 |
1,10 |
0,3643 |
0,12 |
0,0478 |
0,45 |
0,1736 |
0,78 |
0,2823 |
1,11 |
0,3665 |
0,13 |
0,0517 |
0,46 |
0,1772 |
0,79 |
0,2852 |
1,12 |
0,3686 |
0,14 |
0,0557 |
0,47 |
0,1808 |
0,80 |
0,2881 |
1,13 |
0,3708 |
0,15 |
0,0596 |
0,48 |
0,1844 |
0,81 |
0,2910 |
1,14 |
0,3729 |
0,16 |
0,0636 |
0,49 |
0,1879 |
0,82 |
0,2939 |
1,15 |
0,3749 |
0,17 |
0,0675 |
0,50 |
0,1915 |
0,83 |
0,2967 |
1,16 |
0,3770 |
0,18 |
0,0714 |
0,51 |
0,1950 |
0,84 |
0,2995 |
1,17 |
0,3790 |
0,19 |
0,0753 |
0,52 |
0,1985 |
0,85 |
0,3023 |
1,18 |
0,3810 |
0,20 |
0,0793 |
0,53 |
0,2019 |
0,86 |
0,3051 |
1,19 |
0,3830 |
0,21 |
0,0832 |
0,54 |
0,2054 |
0,87 |
0,3078 |
1,20 |
0,3849 |
0,22 |
0,0871 |
0,55 |
0,2088 |
0,88 |
0,3106 |
1,21 |
0,3869 |
0,23 |
0,0910 |
0,56 |
0,2123 |
0,89 |
0,3133 |
1,22 |
0,3883 |
0,24 |
0,0948 |
0,57 |
0,2157 |
0,90 |
0,3159 |
1,23 |
0,3907 |
0,25 |
0,0987 |
0,58 |
0,2190 |
0,91 |
0,3186 |
1,24 |
0,3925 |
0,26 |
0,1026 |
0,59 |
0,2224 |
0,92 |
0,3212 |
1,25 |
0,3944 |
0,27 |
0,1064 |
0,60 |
0,2257 |
0,93 |
0,3238 |
1,26 |
0,3962 |
0,28 |
0,1103 |
0,61 |
0,2291 |
0,94 |
0,3264 |
1,27 |
0,3980 |
0,29 |
0,1141 |
0,62 |
0,2324 |
0,95 |
0,3289 |
1,28 |
0,3997 |
0,30 |
0,1179 |
0,63 |
0,2357 |
0,96 |
0,3315 |
1,29 |
0,4015 |
0,31 |
0,1217 |
0,64 |
0,2389 |
0,97 |
0,3340 |
1,30 |
0,4032 |
0,32 |
0,1255 |
0,65 |
0,2422 |
0,98 |
0,3365 |
1,31 |
0,4049 |
1,32 |
0,4066 |
1,66 |
0,4515 |
2,00 |
0,4772 |
2,68 |
0,4963 |
1,33 |
0,4082 |
1,67 |
0,4525 |
2,02 |
0,4783 |
2,70 |
0,4965 |
1,34 |
0,4099 |
1,68 |
0,4535 |
2,04 |
0,4793 |
2,72 |
0,4967 |
1,35 |
0,4115 |
1,69 |
0,4545 |
2,06 |
0,4803 |
2,74 |
0,4969 |
1,36 |
0,4131 |
1,70 |
0,4554 |
2,08 |
0,4812 |
2,76 |
0,4971 |
1,37 |
0,4147 |
1,71 |
0,4564 |
2,10 |
0,4821 |
2,78 |
0,4973 |
1,38 |
0,4162 |
1,72 |
0,4573 |
2,12 |
0,4830 |
2,80 |
0,4974 |
1,39 |
0,4177 |
1,73 |
0,4582 |
2,14 |
0,4838 |
2,82 |
0,4976 |
1,40 |
0,4192 |
1,74 |
0,4591 |
2,16 |
0,4846 |
2,84 |
0,4977 |
1,41 |
0,4207 |
1,75 |
0,4599 |
2,18 |
0,4854 |
2,86 |
0,4979 |
1,42 |
0,4222 |
1,76 |
0,4608 |
2,20 |
0,4861 |
2,88 |
0,4980 |
1,43 |
0,4236 |
1,77 |
0,4616 |
2,22 |
0,4868 |
2,90 |
0,4981 |
1,44 |
0,4251 |
1,78 |
0,4625 |
2,24 |
0,4875 |
2,92 |
0,4982 |
1,45 |
0,4265 |
1,79 |
0,4633 |
2,26 |
0,4881 |
2,94 |
0,4984 |
1,46 |
0,4279 |
1,80 |
0,4641 |
2,28 |
0,4887 |
2,96 |
0,4985 |
1,47 |
0,4292 |
1,81 |
0,4649 |
2,30 |
0,4893 |
2,98 |
0,4986 |
1,48 |
0,4306 |
1,82 |
0,4656 |
2,32 |
0,4898 |
3,00 |
0,49865 |
1,49 |
0,4319 |
1,83 |
0,4664 |
2,34 |
0,4904 |
3,20 |
0,49931 |
1,50 |
0,4332 |
1,84 |
0,4671 |
2,36 |
0,4909 |
3,40 |
0,49966 |
1,51 |
0,4345 |
1,85 |
0,4678 |
2,38 |
0,4913 |
3,60 |
0,499841 |
1,52 |
0,4357 |
1,86 |
0,4686 |
2,40 |
0,4918 |
3,80 |
0,499928 |
1,53 |
0,4370 |
1,87 |
0,4693 |
2.42 |
0,4922 |
4,00 |
0,499968 |
1,54 |
0,4382 |
1,88 |
0,4699 |
2,44 |
0,4927 |
4,50 |
0,499997 |
1,55 |
0,4394 |
1,89 |
0,4706 |
2,46 |
0,4931 |
5,00 |
0,499997 |
1,56 |
0,4406 |
1,90 |
0,4713 |
2,48 |
0,4934 |
||
1,57 |
0,4418 |
1,91 |
0,4719 |
2,50 |
0,4938 |
||
1,58 |
0,4429 |
1,92 |
0,4746 |
2,52 |
0,4941 |
||
1,59 |
0,4441 |
1,93 |
0,4732 |
2,54 |
0,4945 |
||
1,60 |
0,4452 |
1,94 |
0,4738 |
2,56 |
0,4948 |
||
1,61 |
0,4463 |
1,95 |
0,4744 |
2,58 |
0,4951 |
||
1,62 |
0,4474 |
1,96 |
0,4750 |
2,60 |
0,4953 |
||
1,63 |
0,4484 |
1,97 |
0,4756 |
2,62 |
0,4956 |
||
1,64 |
0,4495 |
1,98 |
0,4761 |
2,64 |
0,4959 |
||
1,65 |
0,4505 |
1,99 |
0,4767 |
2,66 |
0,4961 |
StudFiles.ru
6.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Выше мы рассмотрели формулу Бернулли, которая позволяет находить вероятность появления события в испытаниях
раз. Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда число испытаний
невелико. Если же, например, надо найтиP50(30), то в этом случае сталкиваемся с вычислением
. Но даже не все современные калькуляторы могут вычислить это значение. При использовании стандартной записи числа приходится делать округления, отбрасывая значащие цифры, что приводит в процессе вычислений к накоплению погрешностей.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно kраз вnиспытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Заметим, что для частного случая, а именно для p=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольногоp, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь иногда называют теоремой Муавра – Лапласа.
Мы приведем только формулировку этой теоремы, опуская ее доказательство.
Теорема 6.1 (локальная теорема Лапласа).
Если вероятность pпоявления событияAв каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятностьPn(k) того, что событиеAпоявится вnиспытаниях ровноkраз, приближенно равна (тем точнее, чем большеn):
, где
. (6.2)
Функция называется малой функций Лапласа. Значения функции(x), соответствующие положительному значению аргумента
, определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей, так как(x) четная функция, т.е.
.
Вновь предположим, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления события
постоянна и равна
. Как вычислить вероятность
того, что событие
появится вnиспытаниях не менее
и не более
раз (для краткости будем говорить «от
до
раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим, опустив доказательство.
Теорема 6.2 (интегральная теорема Лапласа).
Если вероятность появления события
в каждом испытании постоянно и отличается от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие
появится вnиспытаниях от
до
раз, приближенно равна:
, где
. (6.3)
Функция называется функций Лапласа. Значения функции(x), соответствующие положительному значению аргумента
и
, определяется из соответствующей таблицы. Для отрицательных значений аргумента можно пользоваться той же таблицей, так как(x) нечетная функция, т.е.
. В таблице приводятся значения лишь до
. При
можно принять
.
Замечание. Локальной и интегральной теоремами Лапласа на практике удобно пользоваться в случае, если npq>10. Если же npq
Пример 6.4.Вероятность появления событияAв каждом из 900 независимых испытаний равнаp=0,8. Найти вероятность того, что событиеAпроизойдет:
а) 750 раз;
б) не менее 710 раз и не более 740 раз.
Решение.а) Из условия следует, чтоn=900,k=750,p=0,8, поэтомуq=0,2. Посколькуnpq=9000,80,2=144>10, то можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа.
Находим x:
.
По таблице значений функции находим (2,5)=0,0175.
Согласно локальной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:
.
б) Из условия следует, что n=900,k1=710,k2=740,p=0,8, поэтомуq=0,2. Находимx1иx2:
;
.
По таблице значений функции Лапласа, учитывая нечетность функции, определяем
(x1)=(0,83)=0,2967;
(x2)=(1,67)=0,4525.
Согласно интегральной теореме Лапласа получаем искомую вероятность:
.
StudFiles.ru
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение Pn(m) и Pn(k1 £ m £ k2), чем больше n.
Локальная теорема Лапласа.Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции
,
.
(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)
Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j( x) = 0. Таким образом, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна
, (11)
где .
Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k1 до k2 раз, приближенно равна
, (12)
где ,
.
В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа
.
Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0,5.
Пример 21Завод изготавливает конденсаторы. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя: а) ровно 10 конденсаторов; б) не менее 20 и не более100 конденсаторов.
Решение. Определим события В = {среди 100 конденсаторов ровно 20 выйдет из строя за время Т}; С ={среди 100 конденсаторов за время Т из строя выйдет не менее 20 и не более100}.
Предполагая, что выход из строя конденсаторов осуществляется независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = {конденсатор выйдет из строя} равна 0,2. То есть p = 0,2, q = 0,8.
Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятностей событий B и C можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа.
а) Определим вероятность события В = {среди 100 конденсаторов ровно 10 выйдет из строя за время Т}.
Для вычисления вероятности события В воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае: n = 100; p = 0,2; q = 0,8; m = 10;
По таблицам значений функции находим
j ( – 2,5) = 0,0175;
б) Для вычисления вероятности события С воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,2; q = 1 – 0,2= 0,8; k1 = 20; k2 =100;
;
По таблицам значений функции находим
F (0) = 0, F (20) = 0,5.
Таким образом, .
studopedia.ru
Как пользоваться таблицей интегральной функции Лапласа?
Здравствуйте. Возникли вопросы по таблице значений интегральной функции Лапласа
Ф (8,107)=0, потому что 8,107>4. Верно?
Чему равно Ф (-1,506) ?
Заранее спасибо.
Cooler viktor ▶
Таблицами значений интегральной функции Лапласа нынче никто не пользуется. Вместо этого тупо вычисляют интеграл, через который эта функция выражается. Примерно так:
Тыкаешь СЮДА, в появиившемся окне нажимаешь МОДЕРН ВИД, затем с помощью вывлившеся виртуальной клавиатуры набиваешь нужный интеграл (делить -- это косая черта / рядом с правой клавишей SHIFT, умножить -- снежинка *, нажимаешь SHIFT+цифра 8):
Тыкаешь ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ и получаешь ответ:
☛ Не забывай о свойстве: Ф (-x) = -Ф (x)
☛ НО! ! С числом 8,107 получается не совсем хорошо. Онлайн калькулятор выдает:
А должен выдавать: 0,999999999999999999999999999999999999...
И в каком-нибудь пятидесятом знаке после запятой должна быть не девятка, а другая цифра. А оно простым инженерам надо? Нет. Поэтому тупо бери для интегральной функции Лапласа Ф (8,107)=1.
Всего доброго, успехов в учебе. ☺
☛ Я под функцией Лапласа Ф (х) подразумевал интеграл от -х до +х.
Но часто подразумевают интеграл от нуля до х (например, х=8,107).
Если брать такой интеграл (т. е. от нуля до 8,107), то получится число, в два раза меньшее чем у меня, т. е. Ф (8,107)=0,5, а не Ф (8,107)=1.
Точно так же будет Ф (-1,506)=-0,433967.
Читайте также
Таблица значений функции
Таблица значений критерия стьюдента t критерия
- Разряды наречий по значению таблица с примерами
Таблица критических значений спирмена
Таблица критических значений манна уитни
Таблица критических значений пирсона
Как найти область значения функции
Аутентичность значение слова
Чувак значение слова с еврейского
- 7 Треф значение
Славянские имена мальчиков и их значение
Барыга значение слова википедия