Определение понятия

Определение понятий. Виды и правила определения

Определение понятий является очень важной логической операцией, раскрывающей содержание понятий. Здесь выявляются существенные признаки мыслимых в понятиях предметов и явлений, благодаря чему только и возможно раскрыть сущность предметов, отличить один предмет от другого, выяснить, что вообще они собой представляют.

Определение (дефиниция) включает в себя понятие, которое надо определить, или определяемое понятие, и понятие, посредством которого оно определяется, – определяющее понятие. В науке и просто в обычной жизни используются разнообразные виды определений понятий, из которых наиболее простым является предъявление искомого предмета, указание на него. И все же, учитывая ограниченный характер такого способа определения, так как явно не все предметы могут непосредственно находиться в нашем распоряжении или ближайшем обозрении, рассмотрим наиболее распространенные виды определения понятий.

Виды определений:

Определение через ближайший род и видовое отличие – этот вид определения включает в себя два последовательных этапа: а) определяемое понятие подводится под более широкое по объему ближайшее родовое понятие (логика – это наука, роза – цветок и т.п.) Такое родовое понятие указывает на круг предметов, среди которых следует искать определяемый предмет; б) необходимо указать тот признак, который отличает определяемый предмет от всех других, относящихся к тому же роду, т.е. отличительный признак определяемого предмета. Этот признак и называется видовым отличием, которое принадлежит только данному виду предметов и отличает его от всех остальных, входящих в этот род.

Иногда вместо двух выше названных видов определений, т.н. явных, в которых четко выражены и определяемое и определяющее понятия, используются и т.н. неявные определения.

Среди них можно отметить: указание на отношение предмета к его противоположности; описание предмета, при котором точно и полно указываются его признаки; характеристика, состоящая в указании отличительных признаков какого-либо лица, события; сравнение и т.д. Содержание некоторых понятий раскрывают, в том числе, и путем перечисления входящих в него объектов, характерный пример – понятие «ближайшие родственники». Иногда говорят еще о т.н. реальных (а это все вышеперечисленные виды определения понятий) и номинальных определениях, в которых, в отличие от первых, определяется уже не сам предмет и его суть, а только его имя, название, термин. Такого рода определения, хотя и не раскрывают в полной мере содержание понятия, все же приближают к раскрытию его специфических особенностей.

Правила определения понятий:

1.Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого и определяющего понятий должны совпадать. При нарушении этого правила возникают два рода ошибок:

а) узкое определение, в котором объем определяющего понятия меньше объема определяемого,

б) широкое определение, в котором объем определяющего понятия больше объема определяемого

2. Определение не должно содержать круга. Круг получается, когда определяют определяемое понятие через определяющее, а определяющее определяют, в свою очередь, через определяемое.

3. Определение по возможности не должно быть отрицательным. Т.е. целесообразнее указать на те признаки, которые принадлежат определяемому предмету, нежели говорить о тех, которые у него отсутствуют. Хотя на начальных этапах познания предмета, когда о нем ничего неизвестно, можно использовать отрицательное определение.

4. Определение должно быть четким, ясным, недвусмысленным, в нем не должно быть сравнений, метафор и т.п.

studopedia.ru

Определение понятий

Отношения между понятиями.

Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми(например, «безответственность» и «нитка»; «романс» «кирпич»), остальные понятия называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые(объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые(объемы которых не совпадают ни в одном элементе).

Типы совместимости: равнозначность (тождество), перекрещивание, подчинение (отношение рода и вида).

Отношения между понятиями изображают с помощью круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия.

Равнозначными(или тождественными) называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.

Понятия, объемы которых частично совпадают, т.е. содержат общие элементы, находятся в отношении перекрещивания. Они изображаются пересекающимися кругами.

Отношение подчинения (субординации) характеризуется тем, что объем одного понятия целиком включается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода: А – подчиняющее понятие («млекопитающее»), В – подчиненное понятие («кошка»).

Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие.

Соподчинение (координация) -это отношение между объемами двух или нескольких понятий, исключающих друг друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию. Они изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.

В отношении противоположности (контрарности)находятся объемы таких двух понятий, которые являются видами одного и того же рода, и при том одно из них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки не только отрицает, но и заменяет их другими, исключающими. Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами.

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. Круг Эйлера, выражающий объем таких понятий, делится на две части (А и не-А), и между ними не существует третьего понятия

Слова, выражающие понятия А и не-А также являются антонимами.

Определение (или дефиниция) понятия есть логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение терминов.

Реальные и номинальные определения.

Если определяется понятие, то определение будет реальным. Если определяется термин, обозначающий понятие, то определение будет номинальным.

С помощью номинальных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний предметов. Для номинальных определений характерно присутствие в их составе слова «называют(ся)».

Определения делятся на явные и неявные.Явные определения – это такие, в которых даны Dfd(определяющее) и Dfn (определяемое) и между ними устанавливается некоторое отношение равенства, эквивалентности. Самое распространенное явное определение – определение через ближайший род и видовое отличие.

Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом.

Признаки, при помощи которых выделяются определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием. При определении понятия видовых признаков (отличий) может быть один или несколько.

К явным определениям понятий относятся и генетические определения. Генетическим называется определение предмета путем указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой (это его видовое отличие).

Правила явного определения.

Ошибки, возможные в определении.

1. Определение должным быть соразмерным, т.е. объем определяющего понятия должен быть равен объему определяемого понятия. Это правило часто нарушается, в результате чего возникают логические ошибки в определении. Типы этих логических ошибок:

А) широкое определение;

Б) узкое определение;

В) определение в одном отношении широкое, а в другом узкое.

2. Определение не должно содержать круга.Круг возникает тогда, когда Dfd(определяющее)определяется через Dfn (определяемое), а Dfn был определен через Dfd.

Круг возникает и тогда, когда определяемое понятие характеризуется через него же, лишь выраженное иными словами. Таки определения носят название тавтологий.

3. Определение должно быть четким, ясным. Это правило означает, что смысл и объем понятий, входящих в Dfn (определяемое, должен быть ясным и определенным. Определение понятий должны быть свободными от двусмысленности; не допускается подмена их метафорами, сравнениями и т.д.

Неявные определения.

В отличии от явных определений, имеющих структуру Dfd(определяющее) =Dfn (определяемое), в неявных определениях просто на место Dfn подставляется контекст, или набор аксиом, или описание способа построения определяемого объекта.

Приемы, сходные с определением понятий.

Всем понятием определение дать невозможно (к тому же в этом нет необходимости), поэтому в науке и в процессе обучения используются другие способы введения понятий – приемы, сходные с определением: описание, характеристика, разъяснение посредством примера и др.

Описаниесостоит в перечислении внешних черт предмета с целью нестрогого отличения его от сходных с ним предметов. Описание включает как существенные, так и несущественные признаки.

Характеристикадает перечисление лишь некоторых внутренних, существенных свойств человека, явления, предмета, а не его внешнего вида, как это делается с помощью описания.

Разъяснение посредством примера используется тогда, когда легче привести пример или примеры, иллюстрирующие данное понятие, чем дать его строгое определение через род и видовое отличие.

Другим приемом, заменяющим определение понятий, является сравнение. К сравнению прибегают как на уровне научного познания, так и на уровне художественного отображения действительности.

В науке сравнение позволяет выяснить сходства и различия сопоставляемых предметов.

Сравнение на уровне художественного отображения действительности позволяет подметить общее, сходное в двух предметах, и в яркой форме, образно выразить это сходство.

studopedia.ru

§ 2. Определение понятий. Сущность и значение определения

В научной и практической деятельности часто возникает необхо­димость раскрыть содержание понятий, которые употребляются в рассуждениях. Так, чтобы правильно квалифицировать совершен­ное преступление как мошенничество, нужно знать содержание по­нятия «мошенничество» (хищение чужого имущества или приобре­тение права на чужое имущество путем обмана или злоупотребления доверием). Если наказание за мошенничество предусматривает кон­фискацию имущества, необходимо знать содержание этого понятия (принудительное безвозмездное изъятие в собственность государст­ва всего или части имущества, являющегося собственностью осуж­денного).

Логическая операция, раскрывающая содержание понятия, на­зывается определением. Суждение, раскрывающее содержание по­нятия, называют дефиницией.

Понятие, содержание которого требуется раскрыть, называется определяемым (дефиниендум); понятие, раскрывающее содержа­ние определяемого понятия, — определяющим (дефиниенс). Упот­ребляются сокращенные обозначения: Dfd(от латинского definien-dum — определяемое) и Dfn (от латинского definience — опреде­ляющее).

Определение понятия играет важную роль в теоретической и практической деятельности. Выражая в сжатом виде знание о пред­мете, оно является существенным моментом в познании действи­тельности. В любой науке всем основным понятиям даются опреде­ления, причем в правовых науках точное определение понятий имеет не только теоретическое, но и практическое значение. В самом деле, если, например, в уголовном праве не будет точных определений понятий «умысел», «соучастие», «вина», «неосторож­ность», «необходимая оборона» и т.д., то это может привести к ошибочному толкованию этих понятий, к неправильному понима­нию отраженных в них явлений, а следовательно, к ошибкам суда и следствия.

Разумеется, содержащаяся в определении «сжатая» информация о предмете не может дать достаточно полного знания о нем. Изучить какую-либо науку только по ее определениям невозможно. Вместе с тем, раскрывая главное в предмете, определение позволяет выде­лить данный предмет, отличить его от других предметов, предостерегает от смешения понятий, от путаницы в рассуждениях. И в этом огромная ценность определений в познании и практической дея­тельности.

Виды определения

Определения делятся на 1) номинальные и реальные, 2) явные и неявные.

Номинальным (от латинского nomen — «имя») называется опре­деление, посредством которого взамен описания какого-либо пред­мета вводится новый термин (имя), объясняется значение термина, его происхождение и т.п. Например: «Новая область науки, изучаю­щая комплекс вопросов, связанных с осуществлением космических полетов, называется космонавтикой»; «Термин «валюта» употребля­ется в значении: 1) совокупность наличных денежных знаков опре­деленного государства, 2) иностранные наличные деньги и кредит­ные документы, фигурирующие в чужом государстве»; «Термин «юридический» (от латинского слова juridicus — «судебный») озна­чает относящийся к правоведению, правовой».

Реальным называется определение, раскрывающее существен­ные признаки предмета. Например: «Правосудие — это деятель­ность суда, состоящая в разбирательстве и разрешении уголовных и гражданских дел»; «Улика — доказательство виновности обвиняе­мого в совершенном преступлении».

1. Номинальные и реальные определения различаются по своим задачам: объяснить значение термина или раскрыть существенные признаки предмета.

Если в номинальном определении значение термина объясняется путем указания на существенные признаки предмета, обозначаемо­го этим термином, то такое определение можно легко преобразовать в реальное. Например, номинальное определение космонавтики может быть преобразовано в реальное: «Космонавтика — это новая область науки, изучающая комплекс вопросов, связанных с осущест­влением космических полетов». Реальное определение также преоб­разуется в номинальное. Например: «Термином «улика» обознача­ется доказательство виновности обвиняемого в совершенном пре­ступлении».

2. По способу выявления Содержания понятия определения де­лятся на явные и неявные. Явные определения раскрывают сущест­венные признаки предмета; к неявным относятся определение через отношение предмета к своей противоположности, контекстуальное, остенсивное и некоторые другие виды определений.Наиболее распространенным видом явных определений является определение через род и видовое отличие и его разновидность — генетическое определение.

Определение через род и видовое отличие состоит из двух поня­тий: определяемого и определяющего, а сама операция включает в себя два приема: 1) подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род) и 2) указание видового отличия, т.е. признака, отличающего определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род. Например: «Чеком признается ценная бумага, содержащая ничем не обуслов­ленное письменное распоряжение чекодателя банку уплатить дер­жателю чека указанную в нем сумму». Здесь определяемое понятие «чек» является видом родового понятия «ценная бумага», которое содержит некоторые признаки понятия «чек»; остальная часть опре­деления — видовое отличие — отличает чек от облигации, векселя, акции и других документов, выпускаемых в соответствии с законода­тельством в качестве ценных бумаг1.

Определение через род и видовое отличие выражается символи­чески: А=Вс, где А — определяемое понятие, Вс — определяющее понятие (В — род, с — видовое отличие). Или: DfdDfn, где  знак эквивалентности.

При указании видового отличия не всегда можно ограничиться одним признаком. Например, в уголовном праве банда характеризу­ется совокупностью трех признаков: 1) объединением двух или более лиц; 2) наличием оружия хотя бы у одного из них; 3) сплочен­ностью группы, устойчивостью преступных связей ее участников. Для признания преступной группы бандой необходимо установить наличие всех трех перечисленных признаков.

Определение через род и видовое отличие, называемое класси­ческим, — наиболее распространенный вид определения, широко применяемый во всех науках, в том числе и в правовых. Так, в теории государства и права дается следующее определение республики: республика — форма правления (род), при которой высшая государ­ственная власть предоставлена выборному органу, избираемому на определенный срок (видовое отличие). В гражданском процессе ре­шение определяется как процессуальный документ (род), выносимый судом первой инстанции при рассмотрении гражданского дела по существу (видовое отличие).

Широко применяется этот вид определения в уголовных кодек­сах. Например, в Уголовном Кодексе Российской Федерации кража определяется как тайное хищение чужого имущества. Ближайшим родом в этом определении является понятие «хищение чужого иму­щества», видовым отличием — понятие «тайное». Этот признак от­личает кражу от грабежа, разбоя и других видов хищения собствен­ности. Более широким для понятия «кража», как и для всех видов преступлений, предусмотренных соответствующей главой Особен­ной части УК РФ, является понятие «преступление против собствен­ности», оно отражает родовой объект посягательства, т.е. объект, единый для группы однородных преступлений.

Генетическим (от греческого слова «генезис» — «происхожде­ние», «источник») называется определение, указывающее на проис­хождение предмета, на способ его образования. Например: «Шар есть геометрическое тело, образованное вращением круга вокруг одного из своих диаметров».

Раскрывая способ образования предмета, его происхождение, генетическое определение играет важную познавательную роль, ши­роко используется в ряде наук: математике, химии и др. Как разно­видность определения через род и видовое отличие, оно имеет ту же логическую структуру и подчиняется тем же правилам.

StudFiles.ru

§ 3. Определение понятий

Определение (дефиниция) (от лат. definitio- определение) понятия - логическая операция раскрытия содержания поня­тия или значения термина.

С помощью определения понятий мы в явной форме раскрыва­ем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяе­мых предметов от других предметов.

Давая такие определения, мы отличаем науку информатику от других наук, а правильные дроби от всех других дробей, напри­мер, неправильных или десятичных.

Приведем еще несколько определений понятий, взятых из школьных учебников, которые принадлежат к двум различным видам определений (реальным и номинальным). «Зоология — это наука о животных, об их разнообразии, строении, поведении, раз­множении, развитии, происхождении, а также о значении в при­роде и жизни человека» (1); «Слово «зоология» происходит от двух греческих слов: «зоон» — животное и «логос» — слово, учение, нау­ка» (2); «Число, которое показывает, во сколько раз умень­шены (увеличены) настоящие расстояния на чертеже, называ­ется масштабом» (3).

Понятие, содержание которого надо раскрыть, называется оп­ределяемым понятием (definiedum, сокращенно Dfd), а то по­нятие, посредством которого оно определяется, называется опре­деляющим понятием (definience, сокращенно Dfn). Правиль­ное определение устанавливает между ними отношение равен­ства (эквивалентности).

Определения делятся неявные и неявные. В явных определе­ниях даны определяемое понятие и определяющее, объемы ко­торых равны, т. е. Dfd ≡ Dfn. К их числу относится самый распространенный способ определения через ближайший род и видовое отличие, где формулируются существенные признаки определяемого понятия. Например: «Барометр — прибор для из­мерения атмосферного давления»; «Треугольник — многоуголь­ник с тремя сторонами»; «Гротеск — способ сатирического изо­бражения жизни, отличающийся резким преувеличением, соче­танием реального и фантастического».

Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа ко­торых нужно выделить определяемое множество предметов, на­зывается родовым признаком, или родом. В приведенных выше примерах это «прибор», «многоугольник», «способ сатирическо­го изображения жизни». Признаки, при помощи которых выделя­ется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называется видовым от­личием (их может быть один или несколько).

Разновидностью определения через род и видовое отличие яв­ляется генетическое определение, в котором указывается способ образования только данного предмета. Например: «Кислотами называются сложные вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода, способных замещаться атомами металлов или обмениваться на них»; «Коррозия металлов — это окислительно-восстановительный процесс, образующийся в ре­зультате окисления атомов металла». Много генетических оп­ределений в математике, к их числу относятся такие, как «ци­линдр вращения», «конус вращения».

Определения через ближайший род и видовое отличие и ге­нетические определения входят в класс реальных определений, ибо они определяют само понятие, например, «информатика», «треугольник», «кислота» и др. К явным относятся и номиналь­ные определения. Последние дают определение термина, кото­рый обозначает понятие, или вводят знаки, заменяющие поня­тие (обычно в свой состав они включают слово «называется»). Они часто встречаются в математике. Например: «Конус назы­вается круговым, если основание его - круг»; «Прямая, соединя­ющая вершину конуса и центр основания, называется осью кону­са». Номинальными определениями, вводящими знаки, являются следующие: «g- ускорение свободно падающего тела», «m - мас­са тела», «знак v обозначает дизъюнкцию» и т. п. В при­веденных выше примерах определения (1), (3) - реальные, а опре­деления (2), (4) и (5) - номинальные.

Чтобы определение было правильным, надо соблюдать следующие правила.

Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении.

1. Определение должно быть соразмерным, т. е. объем определяющего понятия должен быть равен объему определяе­мого понятия: Dfd Dfn.

Это правило часто нарушается, в результате чего в определе­нии возникают логические ошибки. Типы этих логических ошибок:

А. Широкое определение, когда определяющее понятие по объ­ему шире, чем определяемое понятие Dfd < Dfn. Такая ошибка содержится в следующих определениях: «Гравитация — это взаи­модействие двух материальных тел»; «Костер — источник тепла».

Понятие «окружность» неправильно определяется так: «Это фи­гура, которая описывается движущимся концом отрезка, когда другой его конец закреплен, или фигура, которая образована дви­жущимся концом циркуля». С помощью этого определения нельзя отличить понятие «окружность» от понятия «дуга», так как не указано, что окружность - это кривая замкнутая линия.

Приведем пример из истории философии. Древнегреческий философ Платон дал такое определение понятия «человек»: «Человек — это двуногое животное без перьев». На лекцию Пла­тона в Академию другой философ Диоген с целью доказать ло­гическую ошибку Платона в определении понятия принес ощи­панного петуха и выпустил его в аудиторию со словами: «Вот человек Платона». Утверждают, что Платон признал свою ошиб­ку и уточнил первоначальное определение: «Человек - это дву­ногое животное без перьев с широкими ногтями».

Б. Узкое определение, когда определяющее понятие по объе­му уже, чем определяемое понятие: Dfd> Dfn. Например: «Вер­шина — самая высокая часть холма», однако и у горы есть верши­на. Другое: «Совесть — это осознание человеком ответственно­сти перед самим собой за свои действия и поступки» (а перед обществом?).

В. Определение в одном отношении широкое, в другом — узкое. Например: «Ящик — тара для хранения овощей». С одной стороны, это широкое определение, так как тарой для хранения овощей может быть мешок и контейнер и т. д., с другой сторо­ны, это узкое определение, так как ящик пригоден для хранения и цемента, и песка, а не только овощей.

2.  Определение не должно содержать круга. Круг возникает тогда, когда определяемое понятие и определяющее понятие выражаются одно через другое. В определении «Вращение есть движение вокруг своей оси» будет допущен круг, если до этого понятие «ось» было определено через понятие «вращение» («Ось - это прямая, вокруг которой происходит вращение»).

Круг возникает и тогда, когда определяемое понятие характери­зуется через него же, но лишь выражено иными словами, или ко­гда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Такие определения носят название тавто­логий. Например: «Смешное — это то, что вызывает смех»; «Сверхпроводник — вещество, обнаруживающее явление сверх­проводимости»; «Количество — характеристика предмета с его количественной стороны».

Логически некорректным является употребление таких, напри­мер, тавтологий, как «масляное масло», «трудоемкий труд», «пору­ченное поручение», «прогрессирующий прогресс», «заданная за­дача», «изобрету изобретение», «поиграем в игру», «памятный су­венир», «подытожим итоги», «старый старик» и др. Иногда можно встретить выражения типа «Закон есть закон», «Жизнь есть жизнь» и т.д., которые представляют собой прием усиления, а не сообще­ния в предикате какой-то информации о субъекте, так как субъект и предикат тождественны. Такие выражения не претендуют на оп­ределение соответствующего понятия: «закон», «жизнь» или др.

3. Определение должно быть четким, ясным. Это правило означает, что смысл и объем понятий, входящих в Dfn, должен быть ясным и определенным. Определения понятий должны быть свободными от двусмысленности; не допускается подмена их метафорами, сравнениями и т. д.

Не являются правильными определениями следующие суждения: «Лень – мать всех пороков»; «Природа — это наука, способствующая пониманию вопросов, относящихся к духовной истине» (Р. Эмерсон); «Упрямство — порок ума»; «Такт — это разум сердца» (К. Гуцков); «Неблагодарность — род слабости» (И. В. Гете). Эти истинные суждения представляют собой интересные метафоры, поучительные афоризмы, которыми мы пользуемся при передаче информации, но они не являются опре­делениями понятий.

Неявные определения

В отличие от явных определений, имеющих структуру Dfd Dfn, в неявных определениях на место Dfnпросто подставляется кон­текст, или набор аксиом, или описание способа построения опреде­ляемого объекта. Выделяют, по крайней мере, три вида.

Контекстуальное определение позволяет выяснить содержа­ние незнакомого слова, выражающего понятие, через контекст, не прибегая к словарю для перевода (если текст на иностранном язы­ке) или к толковому словарю (если текст дан на родном языке). Так, контекст помогает выяснить, что «заткнуть за пояс» означает «превзойти кого-либо»: «Стукнуло ребяткам десять лет, отдала их мать в науку: скоро они научились грамоте и боярских и купечес­ких детей за пояс заткнули — никто лучше их не сумеет ни про­честь, ни написать, ни ответу дать» (А. Афанасьев); «Стареешь ты, Фишка. – Старею? — удивился тот и хвастливо сказал: – Я еще молодого за пояс заткну!» (Г. Марков).

Понятие «золотая середина» — образ поведения, при котором избегают крайностей, рискованных решений, — отражено в следу­ющих контекстах: «Все б — в крайностях бродить уму, а середи­на золотая все не давалася ему!» (А. Блок); «Кареты разъеха­лись. Мать даже всплакнула: — Всегда вы умудряетесь дово­дить страсти до критических крайностей. Ах, Фике, как хорошо знать золотую середину...» (В. Пикуль).

Индуктивные определения — такие, в которых определяе­мый термин используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла. Примером индуктивно­го определения является определение понятия «натуральное число» с использованием самого термина «натуральное число»:

1. 1— натуральное число.

  1. Если п — натуральное число, то п + 1 — натуральное число.

  1. Никаких натуральных чисел, кроме указанных в пунктах 1 и 2, нет.

С помощью этого индуктивного определения получается нату­ральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4... Таков алгоритм построения ряда натуральных чисел.

Определение через аксиомы

В современной математике и в математической логике ши­роко применяется так называемый аксиоматический метод. При­ведем пример. Пусть дана система каких-то элементов (обоз­начаемых х, у, z...), и между ними установлено отношение, вы­ражаемое термином «предшествует». Не определяя ни самих объектов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (аксиомы):

  1. Никакой объект не предшествует сам себе.

  2. Если х предшествует у, ayпредшествует z, то х предшествует z.

Так с помощью двух аксиом определены системы объектов вида «х предшествует у». Например, пусть объектами c, у, zявляются люди, а отношение между х и у представляет собой «х старше у». Тогда выполняются утверждения 1 и 2. Если объ­екты х, у, z—действительные числа, а отношение «х предшест­вует у» представляет собой «х меньше у», то утверждения 1 и 2 также выполняются. Утверждения (т. е. аксиомы) 1 и 2 опреде­ляют системы объектов с одним отношением [32].

StudFiles.ru

Читайте также