8.3. Свойства определенного интеграла Римана
-
.
-
Линейность. Если f(x), g(x) интегрируемs на [a, b], то
(следует из линейности суммы и предельного перехода)
-
Аддитивность. Если f(x) интегрируема на [a, b] и
с(a, b), то
Доказательство. Рассмотрим такие разбиения отрезка [a, b], где одной из точек xi является точка с.
При 0
-
Если f(x) интегрируема на [a,b] иf1(x) =f(x) для всехx[a;b] за исключением конечного числа точек, то
(интеграл Римана не замечает изменения функции в конечном числе точек).
Доказательство. Изменяя f(x) в конечном числе точек, в интегральной сумме изменим конечное число слагаемых, но при 0 их вклад в сумму стремится к нулю (так как f(x) ограничена).
Свойства, связанные с оценкой интеграла с помощью неравенств (функцииf(x) и g(x) интегрируемы на [a, b]):
-
-
.
-
-
.
-
.
Доказательство. Исходим из определения:.
Свойство5.1. очевидно, так как при a< b множители xiположительны. Предельный переход сохраняет неравенство:
5.2 следует из 5.1. и линейности интеграла:
.5.3.
.
5.4. ;
(использовалась непрерывность модуля) .
5.5. .
Замечание 1. Свойства 2, 3 и 4 остаются справедливыми и при a > b, при этом с(b,a).
Замечание 2. Свойство 3 можно формулировать при любом взаимном расположении точек a, b, c, если функция интегрируема на большем промежутке.
Например,
Замечание 3. Свойства 5 при a> bперестают быть верными.
Можно переформулировать. Например, (5.5):
12. Среднее значение интегрируемой функции на отрезке. Теорема о среднем значении для интеграла Римана. (8.4)
8.4. Теорема о среднем значении.
Определение.Число fср= называетсясредним значением интегрируемой функции f(x) на отрезке [a, b].
Теорема.Если f(x) непрерывна на [a, b], то в некоторой точке с этого отрезка она принимает свое среднее значение: с[a, b]: f(c) = или
.
Доказательство. Значения непрерывной функции на отрезке [a, b] образуют отрезок [m, M], где m и M наименьшее и наибольшее значения.
По свойству 5.3
т.е.fср[m, M].
это промежуточное значение принимается функцией в некоторой точке отрезка.
Замечание. Разрывная интегрируемая функция может не принимать свое среднее значение ни в одной точке отрезка.
Пример.
Вычислим среднее значение.
=
;
fср=.
На отрезке [1, 3] среднее значение не принимается ни в одной точке.
13. Свойства определенного интеграла как функции верхнего предела: непрерывность. (8.5)
8.5. Интеграл Римана с переменным верхним пределом. Доказательство существования первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть f(x) задана на интервале (c, d) и интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в этом интервале.
Выберем точку а(c, d) и рассмотрим функцию(интеграл Римана с переменным верхним пределом).xопределена на всем интервале (c, d).
Теорема 1.Для любой интегрируемой f(x)функция x непрерывна.
Доказательство. Рассмотрим точку x(c, d). Интегрируемая функция ограничена в некоторой окрестности точки x: MR xU(x) |f(x)| M.
xx+ x–x=
.|x| = -=
.
При x0 имеем 0, что и означает непрерывность x в т. x(c, d).
Теорема 2 (о существовании первообразной у непрерывной функции). Для любой непрерывной f(x)на интервале (c, d) функция x дифференцируема на (c, d) и является первообразной для f(x), т. е.
Доказательство.
[применим теорему о среднем значении]
.
Но т. с заключена между x и x+x, поэтому при x0 имеем сx и в силу непрерывности функции f(x). Итак,
Теорема 3. Формула Ньютона-Лейбница.
Если f(x)непрерывна на [a, b], то
где F(x) – любая первообразная для f(x).
Другая форма записи:
Доказательство. Пусть F(x) – известная первообразная для f(x) на [a, b].
Еще одна первообразная: (x) – F(x) = const:
.
x = a .
x = b .
StudFiles.ru
Среднее значение функции это:
Среднее значение функции У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то существует точка , принадлежащая интервалу , такая, что . В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если непрерывна на отрезке , а сохраняет постоянный знак, то существует точка из интервала такая, что
В частности, если , то
Вследствие этого под средним значением функции на отрезке обычно понимают величину
Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
См. также
- Средние Колмогорова
- Первая теорема о среднем
- Математическое ожидание
- Математический анализ
- Функции
Wikimedia Foundation. 2010.
dic.academic.ru
/ теория / 53 ВОПРОС
53.Условие интегрируемости функций. Основные свойства определенного интеграла.
Условия интегрируемости функции на отрезке – это условия существования определенного интеграла
. При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция
ограничена на отрезке
.
Необходимое условие интегрируемости функции
Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке являетсянеобходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.
Т. Если существует, то функция
ограничена на отрезке
.
Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.
Достаточные условия интегрируемости функции
Т. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует
Т. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Т. Если функция монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].
Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны ,то интеграл равен нулю:
.
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
3.
4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция ,где k – постоянная, также интегрируема на [a, b], причем
,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то также интегрируема на [a, b], причем
.
6. Аддитивность определенного интеграла. Если существуют интегралы и
,то существует также интеграл
(и обратно)и для любых чисел a, b, c
.
7. Если функция f(x) не меняет знак на ,то определенный интеграл
сохраняет ее знак, т.е. если
,то
,
,
.
8. Монотонность определенного интеграла. Если интегрируемые функции и
удовлетворяют неравенству
, то
,
.
9. Оценка интеграла. Если f(x) интегрируема на и
, то
,
.
10. (о среднем значении для непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует такая точка
,что
,
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования
и длины b–a этого отрезка.
Число , определяемое по формуле
,называется интегральным средним значением функции f(x) на отрезке
.
StudFiles.ru
Найти наименьшее значение функции на отрезке
Найти наименьшее значение функции на отрезке
f(x)=(1/4x^4)-(2*x^2)+1
Х [-1;3]
Мертвый_белый_снег
Как вообще ищется минимальное значение функции на отрезке: минимум функции на отрезке может достигаться 1) на концах отрезка; 2) в точках разрыва функции; 3) в точках эстремума.
1. Найдем точки, в которых может быть минимум: концы отрезка ---x=-1, x=3.
В точках экстремума производная равна нулю, поэтому их ищем из уравнения f'(x)=0:
f'(x)=x^3-4x=0
x=0 или x=+/-2 (-2 не входит в нужных нам отрезок, поэтому ее проверять не будем) .
Функция разрывов не имеет.
2. Проверяем значение функции в указанных точках:
f(-1)=1/4
f(0)=1
f(2)=-3
f(3)=5/4
Наименьшее значение ---(-3).
Все ок?
Читайте также
Обозначение среднего значения
Таблица значений интегральной функции лапласа
Среднее значение
Расчет среднего значения
Таблица значений функции
Сущность и значение средних величин
Символ среднего значения
Как найти область значения функции
Аутентичность значение слова
1515 На часах значение
Чувак значение слова с еврейского
Барыга значение слова википедия