Определение максимума и минимума функции

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума

Точки экстремума

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной.

В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

studopedia.ru

Экстремум

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения).

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом 🞯, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция f : M ⊂ R → R , {\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} и x 0 ∈ M 0 {\displaystyle x_{0}\in M^{0}} — внутренняя точка области определения f . {\displaystyle f.} Тогда

x 0 {\displaystyle x_{0}} называется точкой локального максимума функции f , {\displaystyle f,} если существует проколотая окрестность U ˙ ( x 0 ) {\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})} такая, что ∀ x ∈ U ˙ ( x 0 ) f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ; {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}
x 0 {\displaystyle x_{0}} называется точкой локального минимума функции f , {\displaystyle f,} если существует проколотая окрестность U ˙ ( x 0 ) {\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})} такая, что ∀ x ∈ U ˙ ( x 0 ) f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) . {\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}

Если неравенства выше строгие, то x 0 {\displaystyle x_{0}} называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

x 0 {\displaystyle x_{0}} называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если ∀ x ∈ M f ( x ) ⩽ f ( x 0 ) ; {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}
x 0 {\displaystyle x_{0}} называется точкой абсолютного минимума, если ∀ x ∈ M f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) . {\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}

Значение функции f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f , {\displaystyle f,} определённая на множестве M , {\displaystyle M,} может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f ( x ) = x , x ∈ ( − 1 , 1 ) . {\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее[1]:

Пусть точка x 0 {\displaystyle x_{0}} является точкой экстремума функции f {\displaystyle f} , определенной в некоторой окрестности точки x 0 {\displaystyle x_{0}} . Тогда либо производная f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} не существует, либо f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция f ∈ C ( x 0 ) {\displaystyle f\in C(x_{0})} непрерывна в x 0 ∈ M 0 , {\displaystyle x_{0}\in M^{0},} и существуют конечные или бесконечные односторонние производные f + ′ ( x 0 ) , f − ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})} . Тогда при условии

f + ′ ( x 0 ) 0 , f − ′ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle f'_{+}(x_{0})0}

x 0 {\displaystyle x_{0}} является точкой строгого локального максимума. А если

f + ′ ( x 0 ) > 0 , f − ′ ( x 0 ) 0 , {\displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0}) является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Пусть функция f {\displaystyle f} непрерывна и дважды дифференцируема в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} . Тогда при условии

f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} и f ″ ( x 0 ) 0 {\displaystyle f''(x_{0}) является точкой локального максимума. А еслиf ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} и f ″ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle f''(x_{0})>0}

то x 0 {\displaystyle x_{0}} является точкой локального минимума.

Пусть функция f {\displaystyle f} дифференцируема n {\displaystyle n} раз в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} и f ′ ( x 0 ) = f ″ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0} , а f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})\neq 0} .

Если n {\displaystyle n} чётно и f ( n ) ( x 0 ) 0 {\displaystyle f^{(n)}(x_{0}) — точка локального максимума. Если n {\displaystyle n} чётно и f ( n ) ( x 0 ) > 0 {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0} , то x 0 {\displaystyle x_{0}} — точка локального минимума. Если n {\displaystyle n} нечётно, то экстремума нет.

ru.wikipedia.org

Максимум и минимум функций. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называется точкой максимума функции у = f (x), если

cуществует такая окрестность точки _, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f( ).

Определение. Точка называется точкой минимума функции у = f( x),если

cуществует такая окрестность точки _, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (x)> f ( ).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом

(минимумом) функции.Максимум (минимумом) функции называется экстремумомфункции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: f¢ ( ) = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Теорема 2(достаточные условия существования экстремума). Пусть функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f¢ (x) меняет знак с плюса на минус, то в точке функция f (x) имеет максимум, если же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум, если же производная знака не меняет, то в точке экстремума не существует.

studopedia.ru

1.11. Максимумы и минимумы функции. Нахождение экстремумов функции

Литература: [3], гл. V, § 3

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.3

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках ─ экстремумами (максимумами и минимумами) функции.

Необходимый признак существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Первый достаточный признак существования экстремума: если непрерывная функция y = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет свой знак плюса на минус, тоx₀ является точкой максимума, если знак меняется с минуса на плюс, то точка x₀ ─ точка минимума. Если знак производной не меняется, то x₀ не является точкой экстремума.

Пример 1. Найти точки экстремума функции

Решение. Область определения функции: .

Находим производную функции: .

Находим критические точки: не существует при,при. Критические точкииразбивают область определения функции на интервалы (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).

Определяем знаки производной на каждом из интервалов:

В критической точке производная меняет знак с «+» на «‑». Значит, функция имеет в точкемаксимум. В критической точкезнак производной меняется с «‑» на «+». Следовательно,является точкой минимума функции.

Второй достаточный признак существования экстремума: если в точке x₀ первая производная функции y = f(x) равна нулю, т.е. , а вторая производная функции существует и отлична от нуля, т.е., то точкаx₀ является точкой экстремума. При в точкеx₀ функция имеет максимум, а при ─ минимум. В случае, когдаданный признак не дает ответа на вопрос о существовании экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию , пользуясь вторым достаточным признаком существования экстремума.

Решение. Область определения функции: .

Находим первую производную функции: .

при , откудаи.

не существует при .

Таким образом, данная функция имеет только одну критическую точку , поскольку точкиине входят в область определения функции.

Находим вторую производную функции: . Вычисляем ее значение в критической точке:. Значит, в точкефункция имеет минимум:.

1.12. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба

Литература: [3], гл. V, § 9

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.4

Кривая называется выпуклой в интервале (а‚b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале. Кривая называется вогнутой в интервале (а‚b), если ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале (рис. 1.6).

Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости используется вторая производная функции.

Теорема (достаточный признак выпуклости (вогнутости) кривой): если во всех точках некоторого интервала вторая производная функции y = f(x) отрицательна (положительна), то кривая, описываемая уравнением y = f(x), в этом интервале выпуклая (вогнутая).

Рис. 1.6

Точка кривой М₀(x₀, f(x₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба): если в точке x₀ вторая производная функции y = f(x) равна нулю или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссойx = x₀ является точкой перегиба графика функции.

Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. Область определения функции: . Находим первую и вторую производные функции:

, .

Обе производные существуют при любых значениях x. Приравняв вторую производную к нулю, находим: x₀ = 2.

Точка x₀ = 2 разбивает область определения функции на интервалы (-∞, 2) и (2, +∞).

Составим таблицу знаков второй производной и поведения функции:

(-∞, 2)

(2, +∞)

−



выпуклая



вогнутая

Знак второй производной меняется в точке x₀ = 2. Значит, точка кривой является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая выпуклая (так как), справа ─ вогнутая (так как).

Итак, интервал выпуклости (-∞, 2), вогнутости (2, +∞).

StudFiles.ru

Что такое точка максимума? что такое точка минимума? что такое точка локального экстремума?

Игорь стронин

точка максимума- наибольшее значение функции f(x) на заданом интервале
точка минимума- наименьшее значение функции f(x) на заданом интервале
екстремум- наибольшее или наименьшее значение функции
локальный екстремум - нужно знать с какой области (раздела) математики идет речь, определений есть несколько
Кстати колега выше прав есть и такое определение что производная в точке екстремума =0

Fataleast

точка максимума это типа такая точка, две соседние точки (данной функции) которой расположенны ниже. это как я помню, должна быть самая высокая точка функции.. .
а экстремум, это тоже самое, но точка не обязательно должна быть самой высокой.. . тоесть на локальном отрезке она самая высокая, но в масштабах функции нет :) фух надеюсь доступно обьяснил.

Аs l

Круто.
Это из производных.
помню что в точках максимума минимума первая производная ровна нулю.
точки лок экстремума и есть точки максимума минимума.
Точное определение сейчас не дам (сколько лет прошло) но помню как определить.
Берешь горизонтальную линию и пркладываешь к определяемой точке графика. Если от этой точки график в обе стороны идет вниз - это точка максимума, а если верх - то минимума. Если ни то ни другое - то просто точк графика :))))
Во что помню ышо :)))))

Катя карцева

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) .
Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда
* x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
* x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).
Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
* x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
* x0 называется точкой абсолютного минимума, если
\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).
Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точка (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.