Определить действующее значение тока

Действующее значение переменного тока

Действующее (эффективное) значение переменного тока равно величине такого постоянного тока, который за время, равное одному периоду переменного тока, произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток.

В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины — среднеквадратичное значение переменного тока.

Иначе говоря, действующее значение переменного тока можно определить по формуле:

I = 1 T ∫ 0 T i 2 d t . {\displaystyle I={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}dt}}.}

Для синусоидального тока:

I = 1 2 ⋅ I m ≈ 0,707 ⋅ I m , {\displaystyle I={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot I_{m}\approx 0{,}707\cdot I_{m},}

где

I m {\displaystyle I_{m}}  — амплитудное значение тока.

Для тока треугольной и пилообразной формы:

I = 1 3 ⋅ I m ≈ 0,577 ⋅ I m . {\displaystyle I={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot I_{m}\approx 0{,}577\cdot I_{m}.}

Аналогичным образом определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Дополнительные сведения

В англоязычной технической литературе для обозначения действующего значения употребляется термин effective value — эффективное значение. Также применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square — среднеквадратичное (значение).

В электротехнике приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем калибруются на действующее значение.

Источники

  • «Справочник по физике», Яворский Б. М., Детлаф А. А., изд. «Наука», 1979 г.1
  • Курс физики. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский М.: Высш. шк., 1989. § 28.3, п.5
  • «Теоретические основы электротехники», Л. А. Бессонов: Высш. шк., 1996. § 7.8 — § 7.10

Ссылки

  • Действующие значения тока и напряжения
  • Среднеквадратичное значение
Наиболее известная формула из ОТО — закон сохранения энергии-массы Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

ru.wikipedia.org

Действующее значение переменного тока

Переменный ток долгое время не находил практического применения.  Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.)называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

,

  (1)

Величина, обратная периоду, есть частота,  измеряемая в герцах (Гц):

,

(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01¸10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота  f= 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i - мгновенное значение тока ;

u– мгновенное значение напряжения ;

е- мгновенное значение ЭДС ;

р- мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m).

 - амплитуда тока;

 - амплитуда напряжения;

 - амплитуда ЭДС.

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

,

(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных эдс, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2соответствуют уравнения:

.

Значения аргументов синусоидальных функций иназываютсяфазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): и -начальной фазой ().

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называютугловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть, гдеf– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0),что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токовидвух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и.

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитудыи начальной фазыэтого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов дляt=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения ииз диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значенияпутем формального учета угловой частоты:.

StudFiles.ru

Действующее значение переменного тока

Действующим значением I переменного тока называют такое значение постоянного I, который, протекая по сопротивлению R, за время, равное одному периоду Т изменения тока, выделяет в нем такое же количество теплоты Q, что и переменный ток i. Поясним определение на примере:

,

где .

После подстановки значения тока i и последующих преобразований получим, что действующее значение переменного тока равно:

.

Аналогичные соотношения могут быть получены также для напряжения и ЭДС:

.

Большинство электроизмерительных приборов измеряют не мгновенные, а действующие значения токов и напряжений.

Учитывая, например, что действующее значение напряжения в нашей сети составляет 220В, можно определить амплитудное значение напряжения в сети: Um=UÖ2=311В. Соотношение между действующим и амплитудным значениями напряжений и токов важно учитывать, например, при проектировании устройств с применением полупроводниковых элементов.

studopedia.ru

/ ТОЭ вар_111

Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Дисциплина: "Теоретические основы электротехники"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Ф.И.О. студента Накиев Руслан Айратович

Направление подготовки: 140400 «Энергетика и электроэнергетика»

Шифр студента 140111

Дата выполнения работы 30.11.14

Руководитель работы Синдаловский Борис Евгеньевич

Санкт-Петербург

2014г.

Вариант 140111

Задача 1.

Цепь постоянного тока с одним источником ЭДС представлена на рис. 1.1. Параметры резистивных элементов, величина ЭДС Е и вариант схемы указаны. Требуется определить токи во всех резистивных элементах и проверить полученные результаты с помощью первого или второго законов Кирхгофа.

Схема А; Е = 6 В; R1 = R2 = 2 Ом, R3 = R4 = 1 Ом.

Рис. 1.1.

Решение:

Произвольно выбираем направления токов в ветвях и обозначаем их на схеме (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

Последовательно соединенные сопротивления R3 и R4 объединяем в одно:

Преобразуем параллельное соединение сопротивлений R1 и R34 в одно эквивалентное:

Получили схему, показанную на рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Находим ток, протекающий через сопротивление R2:

Напряжение ветви, содержащей сопротивление R2:

Ток через сопротивление R1:

Ток через сопротивления R3 и R4:

Делаем проверку. Согласно первому закону Кирхгофа, .

В нашем случае: 1 + 1 = 2 А, значит, токи найдены верно.

Задача 3.

К электрической цепи, содержащей известное активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С (рис. 3.1), приложено синусоидальное напряжение, действующее значение которого U. Частота источника питания схемы f известна. Требуется определить: а) комплексное действующее значение тока I1 в неразветвленной части цепи, а также комплексные действующие значения токов I2 и I3 в параллельно включенных ветвях цепи; б) активную Р, реактивную Q и полную S мощности всей цепи. Задачу решить символическим методом.

Схема 1; U = 20 В; R = 1 Ом; L = 3,18 Гн; С = 1592 мкФ; f = 50 Гц.

Решение:

а) Найдем эквивалентное сопротивление цепи.

Комплексные сопротивления ветвей:

Тогда эквивалентное сопротивление цепи:

Комплексное напряжение: .

Определяем токи в ветвях. В неразветвленной части цепи:

В разветвленной части цепи:

Значение суммы найдено выше при расчете.

б) Находим мощности цепи:

Таким образом, Р = 252,14 Вт; Q = 236,02 вар; S = 357,2 В·А.

Задача 4.

К цепи с последовательным или параллельным соединения сопротивления R, индуктивности L и емкости С подключен генератор синусоидального напряжения, частота f которого может изменяться в большом диапазоне. Действующее значение напряжения этого генератора стабилизировано и остается неизменным при любой частоте.

Требуется:

а) определить угловую резонансную частоту ω0 этой цепи;

б) определить действующее значение тока и действующие значения напряжений на всех элементах цепи при резонансе;

в) построить в масштабе векторную диаграмму тока и напряжений цепи при резонансе;

г) рассчитать величину добротности Q;

д) построить частотные характеристики полного сопротивления цепи z (или полной проводимости у), частотную характеристику тока I цепи и частотную характеристику угла сдвига фаз φ цепи;

е) по графику I(ω) определить величину добротности Q и сопоставить ее с полученной в пункте «г» величиной.

Схема А; L = 50 мГн; С = 0,2 мкФ; R = 20 Ом; U = 10 В

Решение:

а) Для цепи справедлив второй закон Кирхгофа: . При этомсовпадает по фазе с вектором тока цепи,опережает его на 90°,отстает на 90°.

Угловая резонансная частота ω0 цепи:

б) Действующее значение тока в цепи при резонансе:

Действующие значения напряжений на каждом из элементов цепи при резонансе:

Проверка:

в) На основании полученных данных строим векторную диаграмму цепи.

При резонансе векторы действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости численно равны между собой и находятся в противофазе друг к другу.

г) Добротность равна:

д) Частотные характеристики цепи получим, изменяя в формуле полного сопротивления частоту от 0 до ∞. При этом:

Частота, 1/с

ХС,Ом

ХL, Ом

z, Ом

I, А

φ, °

100

50000,0000

5,0000

49995,0040

0,0002

-89,977

2000

2500,0000

100,0000

2400,0833

0,0042

-89,523

3000

1666,6667

150,0000

1516,7985

0,0066

-89,244

4000

1250,0000

200,0000

1050,1905

0,0095

-88,909

5000

1000,0000

250,0000

750,2666

0,0133

-88,472

6000

833,3333

300,0000

533,7082

0,0187

-87,852

7000

714,2857

350,0000

364,8343

0,0274

-86,858

8000

625,0000

400,0000

225,8871

0,0443

-84,920

9000

555,5556

450,0000

107,4336

0,0931

-79,271

9500

526,3158

475,0000

55,0755

0,1816

-68,707

10000

500,0000

500,0000

20,0000

0,5000

0,000

10500

476,1905

525,0000

52,7482

0,1896

67,718

11000

454,5455

550,0000

97,5273

0,1025

78,166

12000

416,6667

600,0000

184,4210

0,0542

83,774

13000

384,6154

650,0000

266,1372

0,0376

85,690

14000

357,1429

700,0000

343,4400

0,0291

86,662

15000

333,3333

750,0000

417,1464

0,0240

87,252

16000

312,5000

800,0000

487,9101

0,0205

87,651

18000

277,7778

900,0000

622,5436

0,0161

88,159

20000

250,0000

1000,0000

750,2666

0,0133

88,472

е) Определяем величину добротности по графику тока, проводя горизонтальную линию на уровне 0,707·I0 до пересечения с кривой тока. Длина этого отрезка определяет величину абсолютной полосы пропускания (ω2 – ω1) = 400 1/с. Тогда добротность равна:

Задача 5.

Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис. 5.1, содержит два источника ЭДС и один источник тока. Параметры источников и сопротивления всех ветвей цепи известны. Требуется: а) преобразовать источник тока в эквивалентный источник ЭДС; б) составить систему уравнений для определения токов во всех ветвях цепи, используя 1-й и 2-й законы Кирхгофа; в) записать полученную систему уравнений в матричной форме.

Рис. 5.1.

Решение:

а) Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате получим схему, показанную на рис. 5.2. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов.

б) Согласно первому закону Кирхгофа, .

Согласно второму закону Кирхгофа, .

Рис. 5.2.

Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для двух узлов (1, 2) и трех контуров I, II и III:

Подставляем числовые значения:

в) Составляем матрицу Z коэффициентов в уравнениях по законам Кирхгофа:

Матрица токов:

Матрица ЭДС:

Система уравнений в матричной форме будет иметь вид:

,

или в сокращенной форме,

Решение этого уравнения будет иметь вид:

,

где – обратная матрица к матрице.

Задача 6.

Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис. 5.1, содержит два источника ЭДС и один источник тока. Параметры источников и сопротивления всех ветвей цепи известны. Требуется: а) составить систему уравнений для определения контурных токов; б) составить систему уравнений для определения узловых напряжений; в) написать, как определить токи в ветвях, если известны контурные токи, если известны узловые напряжения.

Рис. 5.1.

Решение:

а) Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате получим схему, показанную на рис. 5.2. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов в ветвях и контурных токов.

Составляем систему уравнений по методу контурных токов. В общем виде:

Определим параметры системы уравнений:

–контурные токи, которые необходимо найти.

Рис. 5.2.

Суммы сопротивлений, входящих в контуры:

Z11 = R + R = 3 + 3 = 6 Ом;

Z22 = R + R + jXL= 3 + 3 + j2 = 6 + j2 Ом;

Z33 = R + R = 3 + 3 = 8 Ом

Общие сопротивления для контуров:

Z12 = Z21 = –R= –3 Ом;

Z13 = Z31 = 0;

Z23 = Z32 = –R= –3 Ом.

Суммы ЭДС, входящих в контуры:

Подставив найденные коэффициенты, получим:

Из контурных токов можно найти токи в ветвях цепи следующим образом:

б) Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов. В общем виде:

Принимаем узел 3 за базовый. – узловые потенциалы, которые необходимо найти. Определим параметры системы уравнений:

Y11 = 1/R + 1/R + 1/jXL= 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0,667 – j0,5 Cм;

Y22 = 1/R + 1/R + 1/jXL= 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0,667 – j0,5 Cм;

Y12 = Y21 = –1/jXL = j0,5 Cм;

J11 = –E1/R – E3/R = –j5/3 + j9/3 = j1,333 A;

J22 = –E2/R = j10/3 = j3,333 A.

Подставив полученные коэффициенты, получим:

Из узловых напряжений можно найти токи в ветвях цепи следующим образом:

Задача 8.

Трехфазная цепь (рис. 8.1) состоит из трехфазного генератора, вырабатывающего симметричную систему фазных ЭДС Еф и симметричной активной (осветительной) нагрузки. Цепь имеет нейтральный провод. Исследуются два режима работы: а) симметричный режим, при котором сопротивления всех фаз одинаковы ZA=ZB=ZC=R, а сопротивление нейтрального провода ZН=0; б) один из несимметричных режимов работы цепи, при котором одно из фазных сопротивлений приемника отключено или замкнуто накоротко. Определить: 1) комплексные действующие значения токов и напряжений всех трех фаз приемника и напряжение между нейтральными точками генератора и приемника; 2) показания всех амперметров и вольтметров электромагнитной системы, включенных в цепь; 3) построить векторную диаграмму токов и напряжений цепи; 4) как изменяются показания амперметров и вольтметров при данном несимметричном режиме работы по сравнению с симметричным режимом.

Еф = 58 В; R = 5 Ом;

режим I – обрыв фазы В без нейтрального провода ZВ = ∞, ZA = ZС = R, ZН = ∞.

Рис. 8.1

Решение:

а) Симметричный режим работы

1) Определим фазные ЭДС:

Определяем комплексные сопротивления фаз:

Определяем фазные (они же линейные) токи:

Ток в нейтральном проводе, а также напряжение между нейтральными точками генератора и приемника при симметричном режиме работы равны нулю.

Комплексные действующие значения напряжений фаз приемника:

2) Определяем показания амперметров:

;

показания вольтметров:

3) Строим векторную диаграмму:

Масштаб напряжений 15 В/клетка, масштаб токов 5 А/клетка

б) Режим обрыва фазы В без нейтрального провода

Рис. 8.2.

  1. Схема для несимметричного режима работы показана на рис. 8.2.

Определим фазные ЭДС:

Определяем комплексные проводимости фаз:

Определяем комплексное действующее значение узлового напряжения:

Определяем линейные токи:

Комплексные действующие значения напряжений фаз приемника:

2) Определяем показания амперметров:

;

показания вольтметров:

  1. Строим векторную диаграмму:

Масштаб напряжений 10 В/клетка, масштаб токов 5 А/клетка

4) Сравнивая показания приборов при различных режимах работы цепи, определяем, что токи и напряжения в фазах А и С при несимметричном режиме составляют 0,87 от их значений при симметричном режиме.

StudFiles.ru

Как определить действующие значения напряжения переменного тока?

Физики помогите...

Trinitron

Да все просто,
Если форма сигнала переменного тока - синусоидальная, то для измерения действующего значения напряжения тебе потребуется обычный вольтметр. Например в домашней сети - действующие напряжение 220 вольт. и равно это все дело амплитудному значению напряжения умноженного на корень из двух.

Расчет действующего значения можно определить по формуле (но это для умных) U=корень из среднего значения напряжения за период времени возведенной в квадрат т. е. "среднеквадратическому".

Славик даниленко

Переменный ток - ток который периодически изменяется по величине и направлению. Под переменным током также подразумевают ток в обычных одно-и трёхфазных сетях. В этом случае мгновенные значения тока и напряжения изменяются по гормоническому закону. В устройствах потребителях постоянного тока переменный ток часто преобразуется выпрямителями для получения постоянного тока

Андрей повный

Действующее значение переменного тока - это значение постоянного тока, проходящее через одно и то-же сопротивление в один и тот же промежуток времени, что и данный переменный ток, и выделяющего равное с ним количество тепла.
Для синусоидального переменного тока действующие значения его составляют 0,707 от амплитудного, т. е. I = 0,707Im
Следовательно зная амплитудное значение тока (ЭДС, напряжения) , можно всегда определить его действующее значение и наоборот.
Все существующие технические измерительные приборы переменного тока позволяют измерять действующие значения тока.

Читайте также