Среднее и действующее значение синусоидального тока

/ Среднее и действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Действующее значение переменного тока - это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. Аналогично,

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном токе,

	T		T
w =	∫	i2r dt =	∫	I_m2sin2 ωt r dt..
	0		0

При неизменном во времени токе энергия

W = I2rT

Приравняв правые части

	T
I2rT =	∫	I_m2sin2 ωt r dt,.
	0

получим действующее значение тока

I =

√

T
∫	I_m2sin2 ωt r dt
0

I_m

= 0,707I_m.

√2

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е = E_m /√2, U = U_m /√2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значениях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

I_m = √2I = 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = I_m sin (ωt + ψ) = 14,1 sin (ωt + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

T₂

2Е_т

Тω

2Е_т

Тω

2Е_т

Е_ср =

∫

Е_т sin ωt dt =

∫

sin ωt dωt =

|cos ωt|_π0 =

= 0,637Е_т.

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

I_ср = 2I_т /π; U_ср = 2U_т /π.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

К_ф =

= 1,11.

Е_с

I_ср

U_ср

2√2

Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.

Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока.

Мощность Р постоянного тока I, проходящего через сопротивление r, будет Р = Р2r.

Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I2r за целый период или среднее значение от (Im х sinωt)2 х rза то же время.

Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I2r = Mr, откуда I = √M,

Величина I называется действующим значением переменного тока.

Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.

Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени.

Действующее значение переменного тока

Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (-i) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.

Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно1/2I2m. Следовательно, М = 1/2I2m

Так как действующее значение I переменного тока равно I = √M, то окончательно I = Im / √2

Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:

U = Um / √2,E= Em / √2

Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).

На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.

При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √2 раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.

StudFiles.ru

8. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин.

Любая изменяющаяся по синусоидальному закону функция характеризуется тремя величинами: амплитудной, угловой частотой и начальной фазой. Например, i=I_msin(t+).

Для оценки величины используют понятие действующего значения синусоидального тока (его называют также эффективным или среднеквадратичным значением тока) .Аналогично, действующее значение синусоидальной ЭДС равно 0,707 от амплитудного значения .Большинство измерительных приборов показывает действующее значение измеряемой величины. Сравнивая количество теплоты, выделяемой за один период синусоидальным током , с количеством выделенной теплоты от постоянного тока за тот же период времени RI2_постТ, можно отметить . Таким образом, действующее значение синусоидального тока численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток. Кроме действующего значения, используют понятие среднего значения тока по модулю (или среднего за пол периода)

9. Трехфазные электрические цепи

Трехфазная цепь является частным случаем многофазных электрических систем, представляющих собой совокупность электрических цепей, в которых действуют ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе относительно друг друга на определенный угол. Отметим, что обычно эти ЭДС, в первую очередь в силовой энергетике, синусоидальны. Однако, в современных электромеханических системах, где для управления исполнительными двигателями используются преобразователи частоты, система напряжений в общем случае является несинусоидальной. Каждую из частей многофазной системы, характеризующуюся одинаковым током, называют фазой, т.е. фаза – это участок цепи, относящийся к соответствующей обмотке генератора или трансформатора, линии и нагрузке.

Таким образом, понятие «фаза» имеет в электротехнике два различных значения:

фаза как аргумент синусоидально изменяющейся величины;
фаза как составная часть многофазной электрической системы.

Разработка многофазных систем была обусловлена исторически. Исследования в данной области были вызваны требованиями развивающегося производства, а успехам в развитии многофазных систем способствовали открытия в физике электрических и магнитных явлений.

Важнейшей предпосылкой разработки многофазных электрических систем явилось открытие явления вращающегося магнитного поля (Г.Феррарис и Н.Тесла, 1888 г.). Первые электрические двигатели были двухфазными, но они имели невысокие рабочие характеристики. Наиболее рациональной и перспективной оказалась трехфазная система, основные преимущества которой будут рассмотрены далее. Большой вклад в разработку трехфазных систем внес выдающийся русский ученый-электротехник М.О.Доливо-Добровольский, создавший трехфазные асинхронные двигатели, трансформаторы, предложивший трех- и четырехпроводные цепи, в связи с чем по праву считающийся основоположником трехфазных систем.

Источником трехфазного напряжения является трехфазный генератор, на статоре которого (см. рис. 1) размещена трехфазная обмотка. Фазы этой обмотки располагаются таким образом, чтобы их магнитные оси были сдвинуты в пространстве друг относительно друга на эл. рад. На рис. 1 каждая фаза статора условно показана в виде одного витка. Начала обмоток принято обозначать заглавными буквами А,В,С, а концы- соответственно прописными x,y,z. ЭДС в неподвижных обмотках статора индуцируются в результате пересечения их витков магнитным полем, создаваемым током обмотки возбуждения вращающегося ротора (на рис. 1 ротор условно изображен в виде постоянного магнита, что используется на практике при относительно небольших мощностях). При вращении ротора с равномерной скоростью в обмотках фаз статора индуцируются периодически изменяющиеся синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, но отличающиеся вследствие пространственного сдвига друг от друга по фазе нарад. (см. рис. 2).

Трехфазные системы в настоящее время получили наибольшее распространение. На трехфазном токе работают все крупные электростанции и потребители, что связано с рядом преимуществ трехфазных цепей перед однофазными, важнейшими из которых являются:

- экономичность передачи электроэнергии на большие расстояния;

- самым надежным и экономичным, удовлетворяющим требованиям промышленного электропривода является асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором;

- возможность получения с помощью неподвижных обмоток вращающегося магнитного поля, на чем основана работа синхронного и асинхронного двигателей, а также ряда других электротехнических устройств;

- уравновешенность симметричных трехфазных систем.

Для рассмотрения важнейшего свойства уравновешенности трехфазной системы, которое будет доказано далее, введем понятие симметрии многофазной системы.

Система ЭДС (напряжений, токов и т.д.) называется симметричной, если она состоит из m одинаковых по модулю векторов ЭДС (напряжений, токов и т.д.), сдвинутых по фазе друг относительно друга на одинаковый угол . В частности векторная диаграмма для симметричной системы ЭДС, соответствующей трехфазной системе синусоид на рис. 2, представлена на рис. 3.


Рис.3	Рис.4

Из несимметричных систем наибольший практический интерес представляет двухфазная система с 90-градусным сдвигом фаз (см. рис. 4).

Все симметричные трех- и m-фазные (m>3) системы, а также двухфазная система являются уравновешенными. Это означает, что хотя в отдельных фазах мгновенная мощность пульсирует (см. рис. 5,а), изменяя за время одного периода не только величину, но в общем случае и знак, суммарная мгновенная мощность всех фаз остается величиной постоянной в течение всего периода синусоидальной ЭДС (см. рис. 5,б).

Уравновешенность имеет важнейшее практическое значение. Если бы суммарная мгновенная мощность пульсировала, то на валу между турбиной и генератором действовал бы пульсирующий момент. Такая переменная механическая нагрузка вредно отражалась бы на энергогенерирующей установке, сокращая срок ее службы. Эти же соображения относятся и к многофазным электродвигателям.

StudFiles.ru

Среднее и действующее значение синусоидальных функций

Средним значением за период любой периодической функции называется интеграл

, где T- период

У любой гармонической функции среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной. В этом случае пользуются средним значением за полупериод.

С последним значением совпадают среднее значение функции за период, взятой по абсолютной величине.

Пусть , тогда:

Приборы выпрямительной системы показывают среднее значение величин.

Приборы магнитоэлектрической системы, предназначены для измерения постоянного напряжения и тока.

Тепловое действие тока пропорционально квадрату тока и поэтому часто о величине переменного тока судят по так называемому средне квадратичному или действующему значению тока.

, , тогда:;

- действующее значение тока

Действующее значение показывают приборы электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, электростатической систем.

Синусоидальный ток в сопротивлении

Дано: (рис 2.15).

Найти:

Только в частном случае сопротивления выполняется закон Ома для мгновенных значений напряжений и тока.

В сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе (рис 2.16).

Рис. 2.16

Мгновенная мощность в сопротивлении.

Среднее значение за период мгновенной мощности называется активной мощностью.

Синусоидальный ток в индуктивности.

Дано:,(рис. 2.17)

Найти:

;

Напряжение на индуктивности опережает ток на . Обозначим- реактивное сопротивление индуктивности.

- реактивная проводимость индуктивности, тогда

Отсюда следует, что амплитуда (действующее значение) напряжения и тока на индуктивности связаны соотношением подобным закону Ома.

; .

Частное деления напряжения на ток даёт некоторую функцию времени не имеющую физического смысла и практического применения (рис.2.18).

Мгновенная мощность в индуктивности:

Активная мощность в индуктивности: .

Энергия магнитного поля индуктивности:

На первом интервале энергия поступает в цепь и временно запасается в магнитном поле индуктивности. На втором интервале энергия возвращается в источник. Таким образом, в цепях с индуктивностью происходит непрерывный колебательный процесс обмена энергией.

Синусоидальный ток в ёмкости

Дано:(рис.2.19).

Найти:

; .

Ток в ёмкости опережает напряжение на 90º (рис. 2.20)

Обозначим - реактивное сопротивление емкости- реактивная проводимость ёмкости.

Тогда: .

Амплитуды (действующие значения) напряжения и тока в ёмкости связаны соотношением подобным закону Ома.

Мгновенная мощность .

Энергия электрического поля ;

Синусоидальный ток в цепи r, l, c

Дано:

(рис. 2.21).

Найти:

Напряжение будем искать в виде

, ,,

На основании второго закона Кирхгофа:

, .

из тригонометрии:

, ;

Обозначим - реактивное сопротивление цепи.

, .

Отсюда видно, что . Обозначим-полное сопротивление цепи, тогда:

-соотношение подобное закону Ома.

треугольник сопротивлений (рис. 2.22)

;

Ели умножить все стороны треугольника сопротивлений на действующее (амплитудное) значение тока, то мы получим треугольник напряжений, в котором катеты – активная и реактивная составляющие входного напряжения (рис. 2.23).

- реактивная составляющая

- активная составляющая

StudFiles.ru

Действующее значение синусоидального тока

О величине тока судят по так называемому действующему (среднеквадратичному) значению за период. Его сравнивают с постоянным током по тепловому действию или механической силе взаимодействия двух проводников, по которых протекает один и тот же ток.

Действующее значение синусоидального тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление r, за период времени Т выделяет то же количества тепла, что и данный ток :

следовательно

На рисунке 3.3 показано формирование действующего значения синусоидального тока.

Рисунок 3.3 – Действующее значение

Для синусоидального тока имеем:

Аналогично оценивают действующие значения напряжения, ЭДС и других синусоидальных величин: например, для синусоидального напряжения действующее значение напряжения соответственно равно: